区间[NOI2016]

题目描述

在数轴上有 \(n\) 个闭区间从 \(1\) 至 \(n\) 编号，第 \(i\) 个闭区间为 \([l_i,r_i]\)

现在要从中选出 \(m\) 个区间，使得这 \(m\) 个区间共同包含至少一个位置。换句话说，就是使得存在一个 \(x\) ，使得对于每一个被选中的区间 \([l_i,r_i]\)

对于一个合法的选取方案，它的花费为被选中的最长区间长度减去被选中的最短区间长度。区间 \([l_i,r_i]\) 的长度定义为 \((r_i-l_i)\) 即等于它的右端点的值减去左端点的值。

求所有合法方案中最小的花费。如果不存在合法的方案，输出 \(−1\) 。

输入格式

第一行包含两个整数，分别代表 \(n\) 和 \(m\) 。

第 \(2\) 到第 \((n + 1)\) 行，每行两个整数表示一个区间，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(l_i, r_i\) 分别代表第 \(i\) 个区间的左右端点。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

题解

将区间按长度从小到大排序，记为 \(p_1,p_2,\cdots p_n\)

假设最后选的区间中长度最短和最长的分别是 \(p_l, p_r\) ，那么答案就是 \(p_r\) 的长度减 \(p_l\) 的长度，在 \(p_{l+1}\sim p_{r-1}\) 中选哪些并不会给答案造成影响

判定一个答案是否合法的方法：假设现在有一个长度为1e9的序列，每个位置的值都是 \(0\) ，如果我们对于 \(p_l \sim p_r\) 的每个区间，都把这个区间中的每个位置+1，那么操作完后如果有某个位置的值大于 \(m\) ，那么就说明这个位置被 \(p_l \sim p_r\) 中的至少 \(m\) 个区间覆盖了，也就是说存在一种合法方案只选择了 \(m\) 个 \(p_l\sim p_r\) 中的区间，就可以用 (\(p_r\) 的长度减 \(p_l\) 的长度) 来更新答案

如果选择的最短区间为 \(p_l\) 时，使得代价最小的方案中选择的的最长区间是 \(p_r\)，那么选择的最短区间固定为 \(p_{l+1}\) 时，此时的最优方案选择的最长区间一定比 \(p_r\) 长

证明：假设最短区间固定为 \(p_{l+1}\) 时，此时的最优方案选择的最长区间是 \(p_k\)，且 \(k < r\)，那么按照上面那个判合法性的方法，选择 \(p_l\sim p_k\) 也一定是合法的，矛盾

所以可以使用双指针的方法，每次固定左指针(即最短区间)，然后移动右指针找到第一个满足条件的最长区间，然后更新答案

上面的判定合法的方法需要区间加，查询全局最大值，用线段树维护即可

为方便线段树维护，可以先给区间端点进行离散化

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;

template <typename T>
inline void read(T &num) {
	T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
	num = x * f;
}

int n, m, len[N], srt[N], mx;
struct intv {
	int l, r;
} p[N];
bool cmp(intv x, intv y) { return x.r-x.l < y.r-y.l; }

void fCuCcFk() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) srt[++mx] = p[i].l, srt[++mx] = p[i].r;
	sort(srt+1, srt+mx+1);
	mx = unique(srt+1, srt+mx+1) - srt - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		len[i] = p[i].r - p[i].l + 1;
		p[i].l = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].l) - srt;
		p[i].r = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].r) - srt; 
	} 
}

struct segtree {
	int mx, tag;
} tr[N<<2];
void build(int ind, int l, int r) {
	tr[ind].mx = tr[ind].tag = 0; if (l == r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(ind<<1, l, mid); build(ind<<1|1, mid+1, r);
}
inline void pushdown(int ind) {
	if (!tr[ind].tag) return; int v = tr[ind].tag; tr[ind].tag = 0;
	tr[ind<<1].mx += v; tr[ind<<1].tag += v;
	tr[ind<<1|1].mx += v; tr[ind<<1|1].tag += v;
}
void update(int ind, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (x <= l && r <= y) {
		tr[ind].mx += v; tr[ind].tag += v; return;
	}
	pushdown(ind); int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) update(ind<<1, l, mid, x, y, v);
	if (mid < y) update(ind<<1|1, mid+1, r, x, y, v);
	tr[ind].mx = max(tr[ind<<1].mx, tr[ind<<1|1].mx);
}

int main() {
	read(n); read(m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(p[i].l); read(p[i].r);
	}
	sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
	fCuCcFk(); int ans = 0x3f3f3f3f;
	build(1, 1, mx);
	update(1, 1, mx, p[1].l, p[1].r, 1);
	for (int i = 1, j = 1; i <= n; i++) {
		while (j < n && tr[1].mx < m) {
			j++;
			update(1, 1, mx, p[j].l, p[j].r, 1);
		}
		if (tr[1].mx >= m) ans = min(ans, len[j] - len[i]);
		update(1, 1, mx, p[i].l, p[i].r, -1);
	}
	printf("%d\n", ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans);
	return 0;
}