n的素数——素数筛法

 

    素数筛法是这样的：

    1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.

    2.然后：

      for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 )

      {   if(prime[i])

          for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;

      }

    3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。

    原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质

数的倍数筛掉。

    一个简单的筛素数的过程：n=30。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

    第 1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。

    第 2 步开始：

     i=3;  由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.

     i=4;  由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。

     i=5;  由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.

     i=6>sqrt(30)算法结束。

    第 3 步把prime[]值为true的下标输出来：

     for(i=2; i<=30; i++)

     if(prime[i]) printf("%d ",i);

    结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

    这就是最简单的素数筛选法，对于前面提到的10000000内的素数，用这个筛选法可以大大的降低时间复杂度。

下面给出这两个算法的程序：

//最普通的方法：

//用了筛法的方法：

对于这样的筛法，还可以进一步优化，就是bool型数组里面只存奇数不存偶数。如定义prime[N],则0表示

3，1表示5，2表示7，3表示9...。如果prime[0]为true,则表示3是素数。prime[3]为false意味着9是合数。

这样的优化不是简单的减少了一半的循环时间，比如按照原始的筛法，数组的下标就对应数。则在计算30以内素

数的时候3个步骤加起来走了15个单位时间。但是用这样的优化则是这样：

则由于只存3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29，只需要14个单元

第 1 步 把14个单元赋为true (每个单元代表的数是2*i+3,如第0单元代表3，第1单元代表5...)

第 2 步开始：

     i=0;  由于prime[0]=true, 把 [3], [6], [9], [12]标为false.

     i=1;  由于prime[1]=true, 把 [6], [11]标为false

     i=2  2*i+3>sqrt(30)算法结束。

这样优化以后总共只走6个单位时间。

当n相当大以后这样的优化效果就更加明显，效率绝对不仅仅是翻倍。

除了这样的优化以外，另外在每一次用当前已得出的素数筛选后面的数的时候可以一步跳到已经被判定不是素数的

数后面，这样就减少了大量的重复计算。（比如我们看到的，i=0与i=1时都标了[6],这个就是重复的计算。）

我们可以发现一个规律，那就是3（即i=0）是从下标为[3]的开始筛的，5（即i=1）是从下标为[11]开始筛的（因为[6]

已经被3筛过了）。然后如果n很大的话，继续筛。7（i=2）本来应该从下标为[9]开始筛，但是由于[9]被筛过了，而

[16]也已经被5（i=1）筛过了。于是7（i=2）从[23]（就是2*23+3=49）开始筛。

于是外围循环为i时，内存循环的筛法是从 i+(2*i+3)*(i+1)即i*(2*i+6)+3开始筛的。

这个优化也对算法复杂度的降低起到了很大的作用。

相比于一般的筛法，加入这两个优化后的筛法要高效很多。

算法：a是素数，则下一个起点是a*a,把后面的所有的a*a+2*i*a筛掉。

这上面的所有的素数筛选的算法都可以再进一步化为二次筛选法，就是欲求n以内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求

出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。