剑指Offer（三十一）：整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

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一、引子

这个系列是我在牛客网上刷《剑指Offer》的刷题笔记，旨在提升下自己的算法能力。
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二、题目

求出113的整数中1出现的次数,并算出11300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现5次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

1、思路

方法1：最直观的是，对于1~n中的每个整数，分别判断n中的1的个数，具体见《剑指offer》。这种方法的时间复杂度为O(N*logN)，当N比较大的时候，一般会超时。

方法2：这种类别的题目，如果直观求解不行的话，那么通常是进行找规律，转化成一个数学问题。这道题目在《编程之美》上有着比较详细的描述，下面就结合一个实例进行具体的分析：

在分析之前，首先需要知道一个规律：

  • 从 1 至 10，在它们的个位数中，数字1出现了 1 次。
  • 从 1 至 100，在它们的十位数中，数字1出现了 10 次。
  • 从 1 至 1000，在它们的百位数中，数字1出现了 100 次。
    依此类推，从 1 至 10i，在它们右数第二位中，数字1出现了10 ^ (i - 1)次。

对于 n = 2134,要找到从1 ~ 2134这2134个数字中所有1的个数。我们可以对2134进行逐位分析：

(1)在个位上，从1~2130，包含213个10，因此数字1出现了213次，剩下的数字2131、2132、2133、2134中个位数上只有2131包含树脂字1，剩下的都不包含。所以个位数上的数字1的总数为213 + 1 = 214。

(2)在十位上，从1 ~ 2100，包含了21个100，因此数字1出现了21 * 10 = 210次，剩下的数字从2101 ~ 2134，只有2110 ~ 2119这10个数字中十位的数字为1，所以十位上的数字1的总数为210 + 10 = 220。

(3)在百位上，从1 ~ 2000，包含了2个1000，因此数字1出现了2 * 100 = 200次，剩下的数字从2001 ~ 2134，只有2100 ~ 2134这35个数字中的百位的数字为1，所以百位数上数字1的总数为200 + 35= 235。

(4)在千位上，包含了0个10000，因此数字1出现了0 * 1000 = 0次，剩下的数字中只有1000 ~ 1999这1000个数字中的千位的数字为1，所以千位上的数字1的总数为1000。

因此从1 ~ 2134这n个数字中，数字出现的总的次数为 214 + 220 + 235 +1000 = 1669。

总结一下以上的步骤，可以得到这么一个规律：

对于数字n，计算它的第i(i从1开始，从右边开始计数)位数上包含的数字1的个数：

假设第i位上的数字为x的话，则

1.如果x > 1的话，则第i位数上包含的1的数目为：(高位数字 + 1）* 10 ^ (i-1) (其中高位数字是从i+1位一直到最高位数构成的数字)

2.如果x < 1的话，则第i位数上包含的1的数目为：(高位数字 ）* 10 ^ (i-1)

3.如果x == 1的话，则第i位数上包含1的数目为：(高位数字) * 10 ^ (i-1) +(低位数字+1) (其中低位数字时从第i - 1位数一直到第1位数构成的数字)

2、编程实现

python

代码实现方案：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        if n < 1:
            return 0
        # mult位数 sumTime出现1的次数和
        mult, sumTimes = 1, 0
        while n//mult:
            div, mod = divmod(n, mult*10)
            curNum, curMod = divmod(mod, mult)
            if curNum > 1:
                sumTimes += div*mult + mult
            elif curNum == 1:
                sumTimes += div*mult + curMod + 1
            else:
                sumTimes += div*mult
            mult = mult*10
        return sumTimes

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