数据结构(八)高级搜索树
AVL树是典型的适度平衡的二叉搜索树，为每个节点定义引入平衡因子的指标，平衡银子绝对值小于等于1，虽然和理想平衡相比，已经放松了限制，但条件仍显苛刻，还要在动态调整中保持这种特性。
一、伸展树
局部性
Locality：刚被访问的数据，极有可能很快地再次被访问，这一现象在信息处理过程中屡见不鲜。
BST就是这样的一个例子
BST：刚刚被访问过的节点，极有可能很快地再次被访问，下一将要访问的节点，极有可能就在刚被访问过节点的附近。
利用局部性，能否更快？
列表
将访问的元素放到列表前端
BST的顶部元素访问的效率更高
将经常访问的元素移送到更加靠近树根的位置，即降低深度
逐层伸展
节点v一旦被访问，随机被转移到树根
访问333
经过若干次zigzag的组合，最终到达了树根，对333的访问几乎只需要常数时间
该节点上升的过程是左右摇摆不断伸展的过程
一步一步往上爬
自上而下，逐层单旋
直到v最终被推送至树根
最坏的情况下效率不佳
双层伸展
构思的精髓：向上追溯两层，而非一层
反复考察祖孙三代：g=parent(p), p=parent(v), v
根据它们的相对位置，经两次旋转使得v上升两层，成为（子）树根
zig-zag/zag-zig
与AVL树双旋完全等效
与逐层伸展别无二致
zig-zig/zag-zag
对祖父g进行zig
对祖父旋转
对父亲旋转
再对新祖父005zig旋转
对父亲004zig旋转
继续上面的过程
最终
树的高度变为原来的一半
继续访问最低点，会继续优化调整
树的高度又缩减了一半
具有路径折叠效果
折叠效果：一旦访问坏节点，对应路径的长度将随即减半
最坏情况不致持续发生
单趟伸展操作，分摊O(logn)时间
实现
zig-zig情况
查找算法
伸展树的查找操作，与常规BST::search()不同，很可能会改变树的拓扑结构，不再属于静态操作
插入算法
直观方法：调用BST标准的插入算法，再将新节点伸展至根，其中，首先需要调用BST::search()
重写后的splay::search()已集成了splay()操作，查找（失败）之后，_hot即是根节点
首先调用重写之后的search接口，不失一般性，查找是失败的，记失败之前最终的节点为t，即此前所说的_hot
集成在search接口内部的splay操作，自然会将_hot推送到树根的位置
在逻辑上将t这棵树一分为二，比如将t与其右子树分离开
引入节点v，并将t及其后代作为左子树，原先从t分离出的右子树作为树的右子树重写接入树中、
删除算法
直观方法：调用BST标准的删除算法，再将_hot伸展至根
同样的，Splay::search()查找（成功）之后，目标节点即是树根
既然如此，何不随即就在树根附近完成目标节点的摘除
首先进行查找，对待删除的节点进行定位，定位成功v
紧随其后，集成在search接口内的伸展操作之后，待删除节点v被推送到树根
将该节点释放，从逻辑上，左右节点彼此分离
有很多方法重新合并它们，比如
在右子树中找到最小的节点，相对于左子树则是最大的
将原来的左子树作为左子树连接上去即可
二、B-树
严格讲，B-树并发BST，在物理上B-树的每个节点都可能包含多个分支，但逻辑上等价BST。
1.动机
高效I/O
越来越小的内存
事实上，系统存储容量的增长速度，远远小于问题规模的增长速度。
为什么不把内存做的更大？
物理上，存储器的容量越大/小，访问速度就越慢/快
高速缓存
事实1：不同容量的存储器，访问速度差异悬殊
为避免1次外存访问，宁愿访问内存10次、100次，甚至更多
多数存储系统，都是分级组织的---Caching
最常用的数据尽可能放在更高层、更小的存储器中，实在找不到，才向更低层、更大的存储器索取
在该系统中，相对于任何一个存储级别，如果希望向更低的存储级别写入，或反过来从更低的存储级别读入数据，都称为输入和输出，简称I/O。
对于更上层的存储级别而言，对更低层的访问都可以叫做外存访问。
应尽可能减少I/O
事实2：从磁盘中读写1B，与读写1KB几乎一样快
批量式访问：以页（page）或快（block）为单位，使用缓冲区 // <stdio.h>...
B-Tree
所谓m阶B-树，即m路平衡搜索树（m>=2）
外部节点的深度统一相等，等效于，所有叶节点的深度统一相等
B-Tree的外部节点是叶节点数值为空，其实并不存在的孩子
与通常的BST不同，B-Tree的高度是相对于外部节点，而非叶子节点而言的
内部节点各有
不超过m-1个关键码：
不超过m个分支：
以n表示节点中所含的关键码数，因此拥有n个关键码的节点对应于n+1个分支
内部节点的分支数n+1也不能太少，具体的
树根：2<=n+1
其余：
故亦称作
m=5，称作(3, 5)-树
m=6，称作(3, 6)-树
(2, 4)树
紧凑表示
BTNode
3.B-树：查找
B树中容纳的词条极多，甚至不能完全容纳在内存中，相对的只能放在速度更慢的外存之中
B树查找的诀窍在于只载入必须的节点，尽可能减少I/O操作
对于一棵处于活跃状态的B树而言，不妨假设根节点已经常驻于内存
假设需要查找特定的关键字key
首先会在常驻于内存的根节点进行查找
每个节点中的关键码都已经存成了一个向量，因此实施的无非是一个顺序查找，如果能在某个位置命中，查找随即以成功告终
查找失败于特定位置，在特定位置应该预先已经记录了引用，该引用将会指向B树中的下一层的某一个节点，可以沿着该引用找到下层的节点，并将其载入到内存之中
查找深入一层，代价是做了一次读入性的IO操作
既然已经搜索到这样一个节点，就可以断定，如果目标关键码的确存在这棵树中，就必然存在于这个节点所对应的子树中
继续在新载入的节点中进行查找，只需顺序查找
同样，如果查找以失败告终，此时，也会停止于某个位置，该位置预先记录了引用，可以据此找到B树的下一个节点
同样可以断定，如果目标关键码的确存在这棵B树中，就必然存在于这个节点所对应的子树中
因此，再次IO，将下层节点载入内存，在新载入的节点中做顺序查找
反复上述步骤，可能最终会到达叶节点
依然需要对目标关键码进行顺序查找，失败，会根据引用查找到下一层的节点，即外部节点
此时，会宣告查找以失败告终
当然，还有另一种情况，外部引用实际上指向的是相对而言更低层此的B树，借助外部节点可以将存放于不同级别上的B树串接起来，构成更大的B树
假设查找确实以失败告终
所谓B树查找不过是一系列在内存中顺序查找和一系列IO操作相间隔组成的操作序列
5阶B树，(3, 5)树
查找69，先查找内存中的根节点
将下层的节点读入内存
在其中进行顺序查找，找到69
实现
复杂度
最大树高
含N个关键码的m阶B-树，最大高度=
最小树高
分裂
设上溢节点中的关键码依次为k0,...,km-1
关键码ks上升一层，并分裂split：以所得的两个节点作为左、右孩子
再分裂
插入555
插入到紧邻556的左侧
顺利结束
插入444
插到435的右侧
发生上溢
修复上溢，以中位数关键码为界，一分为二
中位数关键码提升一层，纳入到父节点的适当位置
插入500
插入到482右侧
上溢
修复
仍上溢
再修复
再分裂
树长高了一层
5.B-树：删除
算法
旋转
删除249
发生下溢
左顾右盼，有兄弟有四个关键码，可以借出一个
先向父亲借268，右兄弟给父亲315用来填补
删除619
发生了下溢
左顾右盼，没有左兄弟，右兄弟没有足够的关键码
无法旋转，只能合并
从父节点中找到介于该节点和右兄弟的关键码，也就是703
取出下溢，作为粘合剂将该节点和右兄弟合并
但是父亲发生了下溢
在父亲处左顾右盼，没有右兄弟，而左兄弟处于下溢的临界状态，无法借出关键码
合并
从父节点也就是树根中，找到下溢节点和兄弟之间的关键码
根节点只有一个关键码528
将该关键码取出并下溢，作为粘合剂将下溢节点和兄弟结合起来
包含唯一节点的根节点成为空的，删除，用新的节点做根节点即可
B树高度降低了一层
三、红黑树
1.动机
这些结构每当经过一次动态操作，使得其中的逻辑结果发生变化后，会随机完全转入新的状态，同时将此前的状态完全遗忘，因此称作ephemeral structure
除了目标关键码，还要同时指定版本号ver
蛮力实现：每个版本独立保存，个版本入口自成一个搜索结构
空间上不可接受
利用相邻版本之间的关联性
O(1)重构
大量共享，少量更新：每个版本的新增复杂度，仅为O(logn)
为此，就树形结构的拓扑而言，相邻版本之间的差异不能超过O(1)
AVL树的删除操作不满足
需要一种BST：
红黑树是具有该特性的变种
由红、黑两类节点组成的BST // 亦可给边染色
（统一增设外部节点NULL，使之成为真二叉树）
(1)树根：必为黑色
(2)外部节点：均为黑色
(3)其余节点：若为红，则只能有黑孩子 // 红之子、之父必黑
(4)外部节点到根：途中黑节点数目相等 // 黑深度
lifting变换
变换之前
变换之后
(2, 4)树==红黑树
提升各红节点，使之于其（黑）父亲等高--于是每棵红黑树，都对应于一棵(2, 4)-树
将黑节点与其红孩子视作（关键码并合并为）超级节点...
无法四种组合，分别对应于4阶B-树的一类内部节点 //反过来呢？
接口
3.红黑树：插入
提升变换，所有指向红色节点的虚边收缩起来，从B树来看，局部的四个节点，合并为包含四个关键码的超级节点，对应于五个分支，非法的
红黑树中修复双红缺陷，不如说是在B树中修复上溢缺陷
b -> b' -> c' -> c
g左右至少有一个黑色的关键码，也可能有红色，导致双红缺陷，根据上述方法再进行解决，问题所发生的位置会逐渐上升
双红修正：复杂度
重构、染色均属常数时间的局部操作，故只需统计其总次数
修正算法流程图
4.红黑树：删除
如此，红黑树性质在全局得以恢复--删除完成 //zig-zag等类似
在对应的B树中，以上操作等效于...
复杂度
