AT_arc098_d Donation

考虑一个点 \(u\) 被经过的若干次，肯定是最后一次再捐钱。

设 \(T\) 是当前时刻的存款，在 \(u\) 的任意时刻，我们只需要保证 \(T \geq a_u - b_u\) 即可。（任意时刻的意思是，捐钱之后的 \(T\) 也要满足 \(T \geq a_u - b_u\)）

Q1：我们进入一个点不是要保证 \(T \geq a_u\) 吗，这样转换为啥是对的？

A1

对于经过 $u$ 的每个时刻，假设中间某个时刻捐了 $b_u$ 块钱，那么前面的时刻肯定都有 $T \geq a_u - b_u + b_u$。我们把这个捐钱时刻移到最后，那么后面每次进入 $u$ 的时刻，$T$ 都多了本来要捐的 $b_u$，因此有 $T \geq a_u$，满足题目限制，且一定更优。

因此，我们将进入某个点时的限制转化成了在某个点时的限制。因此我们设 \(c_i = a_i - b_i\)

每个点都会在行走捐钱的过程中突然变得不能到达。假设点 \(u\) 第一个不能到达，那么 \(u\) 会分裂成若干连通块，我们就要保证这时候除了人在的连通块之外所有点都被捐钱了。

我们将点的消失转化成边的消失。如果一条边中的一个点消失了，这条边就不能经过了。因此，我们给边 \((u, v)\) 加一个边权 \(w = \max(c_u, c_v)\)，表示其中这两个点先消失的那个点的时间。

由于边是按照 \(w\) 从大到小消失的，因此这启发我们建 Kruskal 重构树。我们建出来这棵树之后，假设当前我们在 \(u\) 的子数上，那么 \(a_u\) 就是这个点代表的边的消失时间。

考虑 DP。设 \(f_u\) 表示我们在重构树上以 \(u\) 为根的子树在原图中代表的连通块，这个人对每个点捐完钱所需要的最小初始钱财。设 \(s_u\) 表示重构树上以 \(u\) 为根的子树中 \(b_i\) 之和。

建出重构树后，我们有一个很关键的性质：\(u\) 这个点一定是整个连通块中最先消失的。因此，我们要保证在捐完一颗子树的所有钱后，还能经过 \(u\) 到另一颗子树。

我们假设要先进入子树 \(v'\)，捐完这个子树的钱后经过 \(u\) 到达另一颗子树。容易发现，由于之后我们还要有实力经过 \(u\)，所以在 \(v'\) 子树中随便乱走都不会出现断边。假设 \(u\) 这个边经过的限制是 \(w\)。

我们设初始的钱数为 \(T\)，那么就要有如下式子：

• 捐完 \(v'\) 的钱后要能经过 \(u\) 这条边：\(T - s_{v'} \geq w\)。
• 捐完 \(v'\) 的钱后要能捐完 \(v\) 子树：\(T - s_{v'} \geq f_v\)。

因此，\(T \geq s_{v'} + \max(w, f_v)\)，因此 \(f_u = s_{v'} + \max(w, f_v) = s_u - s_v + \max(w, f_v)\)。