1.1 缘由与绪论
为了编数值计算的程序，搜到了很多资料，发现理论部分多需要理论力学基础，加之感兴趣的其他问题有用哈密顿量，隧决定重温理论力学。该系列博文参考清华大学高云峰老师的MOOK，只简列提纲，以为备忘。在此感谢高云峰老师、清华大学以及学堂在线对理力MOOK的贡献。
力学是研究物体机械运动的科学。运动包括了：静止、平移、转动、振动、变形、流动、波动。对于实际中的工程问题，常简化为力学模型，再定量分析为数学问题，最后进行数值计算，与实际测量进行比对或作出预测。
力学分类有如下几种：
| 学科分类 | 研究方法 | 研究内容 |
| 一般力学 | 几何力学 | 运动学 |
| 固体力学 | 分析力学 | 动力学 |
| 流体力学 | 静力学 |
理论力学研究的是运动与作用力的关系，对象是质点与质点系。质点系包括：质点、刚体、弹\塑性体、流体等。
1.2 矢量描述法
参考系：物体运动时参考的对象。运动与静止是相对的，当研究一个物体的运动时，须选定静止的“参照物”，参考系便是该参照物
坐标系：坐标系有两个要素，原点（基点）和坐标轴（基矢量）。坐标系可以描述不同点的空间位置关系。
矢径：又称位置矢量（位矢），描述坐标点与原点的位置关系。对于一个质点而言，如果它不固定，它的矢径为：
$$\vec{r}_{mass point}\left(t\right)$$
位移：一个运动的质点，在两个时刻的矢径之差：
$$\Delta \vec{r} = \vec{r}\left(t+\Delta t\right)-\vec{r}\left(t\right)$$
速度：质点在单位时间内移动的位移，也即矢径随时间的导数：
$$\vec{v}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{r}}$$
加速度：质点速度在单位时间内的变化量，也即速度随时间的导数：
$$\vec{a}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}^2\vec{v}}{\mathrm{d}t^2}=\ddot{\vec{r}}$$
运动方程：其实就是质点不同时刻的矢径，时间一变，位置就变，这就是运动。和上面的“质点矢径”是一个东西：
$$\vec{r}_{mass point}\left(t\right)$$
关于矢量计算相关的内容计划另起一个
预计叫做「矢量分析」
1.3 直角坐标系
运动方程：
$$\vec{r}\left(t\right) = x_i\left(t\right)\vec{e}_i$$
速度方程：
$$\vec{v}\left(t\right) = v_i\left(t\right)\vec{e}_i = \dot{x}_i\left(t\right)\vec{e}_i$$
加速度方程：
$$\vec{a}\left(t\right) = a_i\left(t\right)\vec{e}_i = \ddot{x}_i\left(t\right)\vec{e}_i$$
1.4 自然坐标系
自然坐标系是存在已知质点运动的参数曲线$S\left(t\right)$。这里，$t$ 是参数。在二维坐标系中，存在两个基矢量 $\vec{\tau}$ 和 $\vec{n}$，分别代表切向单位矢量和法向单位矢量。与直角坐标系不同，每一个点的基矢量都可能与众不同。
运动方程：
$$S = S\left(t\right)$$
速度方程：
$$\vec{v}\left(t\right) = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$$
$$\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}s} = \lim\limits_{\Delta s\rightarrow 0}\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta s}=\vec{\tau}$$
$$\vec{v}\left(t\right) = \dot{S}\vec{\tau}\left(S\right)$$
加速度方程：
$$\vec{a}\left(t\right) = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \ddot{S}\vec{\tau} + \dot{S}\dot{\vec{\tau}}$$
求解其中的 $\dot{\vec{\tau}}$ 项：
$$\dot{\vec{\tau}} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}S} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$$
该项的幅值展开在 矢量分析 系列中会详细介绍：
$$\arrowvert\dfrac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}S}\arrowvert = \lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\arrowvert\dfrac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta S}\arrowvert = \lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\arrowvert \dfrac{2}{\Delta S} \sin\dfrac{\Delta \theta}{2} \arrowvert $$
$$\arrowvert\dfrac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}S}\arrowvert = \lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\arrowvert \dfrac{\Delta \vec{\theta}}{\Delta S} \arrowvert= \arrowvert \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}S} \arrowvert = \dfrac{1}{\rho}$$
其中 $ \rho $ 是曲率半径。
同时， $\dot{\vec{\tau}}$ 项的方向可证为法向方向。综上：
$$\vec{a}\left(t\right)=\ddot{S}\vec{\tau}+\dfrac{\dot{S}^2}{\rho}\vec{n}$$
其中 $\vec{n}$ 代表法线方向单位矢量。
1.5 极坐标系
极坐标有两个基矢量：$\vec{e_{\rho}}$ ， $\vec{e_{\varphi}}$ 。
运动方程：
$$\vec{r} = \rho\left(t\right) e^{\varphi\left(t\right)} $$
速度方程：
$$\vec{v}\left(t\right)=\dot{\vec{r}}\left(t\right) =\dot{\rho}\vec{e_{\rho}}+\rho\dot{\vec{e_{\rho}}}$$
其中：
$$\vec{e_{\rho}}=\cos \varphi\vec{i}+\sin \varphi\vec{j}=-\dot{\varphi}\sin\varphi\vec{i}+\dot{\varphi}\cos\varphi\vec{j}=\dot{\varphi}\vec{e_{\varphi}}$$
故：
$$\vec{v}\left(t\right)= \dot{\rho}\vec{e_{\rho}}+\rho\dot{\varphi}\vec{e_{\varphi}}$$
加速度：
$$\vec{a}\left(t\right) = \dot{\vec{v}}\left(t\right)\\ =\ddot{\rho}\vec{e_{\rho}}+\dot{\rho}\dot{\vec{e_{\rho}}}+\dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e_{\varphi}}+\rho\ddot{\varphi}\vec{e_{\varphi}}+\rho\dot{\varphi}\dot{\vec{e_{\varphi}}}\\=\left( \ddot{\rho}- \rho\dot{\varphi}^2\right) \vec{e_{\rho}} +\left(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right)\vec{e_{\varphi}}$$
1.6 细节与思考问题
- 径向：原点到坐标点的方向，要求有两个点，其中一个是原点。
- 横向：垂直于径向的方向，有径向存在时方有横向。
- 切向：与曲线相切的方向，要有运动曲线存在。
- 法向：垂直曲线切线方向，要有运动曲线存在。
问题：
1、椭圆规
2、旋轮线
3、单摆
4、三个演员转圈追踪
5、不同方法求解问题
6、天体运动问题
7、自行车与观察者
8、兔狗追踪问题
END
