[bzoj 1143]最长反链二分图最大匹配

Dilworth定理：偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等。

证明：http://www.cnblogs.com/itlqs/p/6636222.html

题目让求的是最大反链的长度，因此可以转化为最少能划分成的链的个数。这个问题可以用二分图的最大匹配做。

建立一个二分图，两边都是n个点，原图的每个点 i 对应两个，在左边的叫做 i1, 在右边的叫做 i2 。

然后原图中如果存在一条边 (x, y)，那么就在二分图中建立 (x1, y2) 的边。

这样建立二分图之后，原图的点数 n - 二分图最大匹配 = 原图的最小路径覆盖（路径不能相交）。

这样为什么是对的呢？我们可以认为，开始时原图的每个点都是独立的一条路径，然后我们每次在二分图中选出一条边，就是将两条路径连接成一条路径，答案数就减少1。

因此最大的匹配就对应着减去的路径最多，也就是最少的链。

参考：http://www.cnblogs.com/JoeFan/p/4324380.html

要注意的是需要先做一次传递闭包，因为这里的边是具有传递性的，输入给出的所有u v边，还可以推出一些边，这些隐含边也要加进图里。（这样其实是把路径不能相交变成了路径可以相交）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=105;
int g[MAXN][MAXN];

int uN,vN;
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
bool dfs(int u)
{
    for(int v = 0; v < vN; v++)
        if(g[u][v] && !used[v])
        {
            used[v] = true;
            if(linker[v] == -1 || dfs(linker[v]))
            {
                linker[v] = u;
                return true;
            }
        }
    return false;
}
int hungary()
{
    int res = 0;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(int u = 0; u < uN; u++)
    {
        memset(used,false,sizeof(used));
        if(dfs(u))res++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n,m;
    while (~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(g,0,sizeof(g));
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            g[u-1][v-1]=1;
        }
        for (int k=0; k<n; k++)
            for (int i=0; i<n; i++)
                for (int j=0; j<n; j++)
                    if (g[i][k] && g[k][j]) g[i][j]=1;
        uN=vN=n;
        printf("%d\n",n-hungary());
    }
    return 0;
}