最小生成树
一、概述
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
4、代码：
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4、代码
这个代码写的比较基本，所以行数比较多
#include"iostream" #include"stdio.h" #include"algorithm" #include"cmath" #include"string.h" #include"string" using namespace std; const int mx=105; const int inf=32767; struct Edge//记录边的两个端点和权值 { int u; int v; int w; }; struct Mgraph { int edges[mx][mx];//存储边 int n;//顶点数 }; struct UFStree//并查集的数据结构 { int data;//节点对应的编号 int parent;//节点对应双亲下标 int rank;//节点对应秩 }; bool cmp(const Edge a,const Edge b) { return a.w<b.w; } void Make_set(UFStree t[],int n)//初始化 { for(int i=0;i<n;i++) { t[i].rank=0; t[i].parent=i; } } int Find_set(UFStree t[],int x)//查找集合的代表元素 { while(x!=t[x].parent) x=t[x].parent; return x; } void Union(UFStree t[],int x,int y)//将两个集合并为一个 { x=Find_set(t,x); y=Find_set(t,y); if(t[x].rank>t[y].rank)//将秩小的作为秩大的子集 t[y].parent=x; else { t[x].parent=y; if(t[x].rank==t[y].rank) t[y].rank++; } } void Kruskal(Mgraph g)//求最小生成树的算法 { int i,j,k,u1,v1,sn1,sn2; UFStree t[mx]; Edge E[mx]; k=1; //E数组的下标从一开始 for(i=0;i<g.n;i++) //由g产生的边集E for(j=0;j<g.n;j++) { if(g.edges[i][j]!=0&&g.edges[i][j]!=inf) { E[k].u=i;E[k].v=j;E[k++].w=g.edges[i][j]; } } sort(E,E+k,cmp); Make_set(t,g.n); k=1;//k表示当前构造生成树的第几条边，初值为1 j=1;//E中边的下标，初值为1 while(k<g.n) { u1=E[j].u; v1=E[j].v; sn1=Find_set(t,u1); sn2=Find_set(t,v1); if(sn1!=sn2)//两定顶点属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边 { cout<<"("<<u1<<","<<v1<<"):"<<E[j].w<<endl; k++;//生成边数增1 Union(t,u1,v1);//将 u1和v1两个顶点合并 } j++; } } int main() { Mgraph g; int i,j,n; cout<<"输入顶点数为0时结束！"<<endl<<endl; while(cout<<"输入图的顶点数目:"<<endl,cin>>n,n) { g.n=n; cout<<"输入每个顶点与n个顶点边的权值:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) cin>>g.edges[i][j]; cout<<"输出构成最小生成树的边和顶点集："<<endl; Kruskal(g); cout<<endl; } return 0; }
参考网上的代码后简化了很多 ，不过对于不同的问题，需要不同的数据结构和算法，还是要学会随机应变。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> #define N 150 using namespace std; int m,n,u[N],v[N],w[N],p[N],r[N]; int cmp(const int i,const int j) {return w[i]<w[j];} int find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);} int kruskal() { int cou=0,x,y,i,ans=0; for(i=0;i<n;i++) p[i]=i; for(i=0;i<m;i++) r[i]=i; sort(r,r+m,cmp); for(i=0;i<m;i++) { int e=r[i];x=find(u[e]);y=find(v[e]); if(x!=y) {ans += w[e];p[x]=y;cou++;} } if(cou<n-1) ans=0; return ans; } int main() { int i,ans; while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF&&m) { for(i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]); } ans=kruskal(); if(ans) printf("%d\n",ans); else printf("?\n",ans); } return 0; }
时间复杂度：elog2e e为图中的边数
