斜率优化DP

例题[P2900 USACO08MAR] Land Acquisition G - 洛谷

简要题意：

• 有 \(n\) 块大小为 \(w \times l\) 的土地，现在要购买所有土地，可以分组购买
• 对于每一组土地的价值定义为 \(max_w \times max_l\) ，即该组土地内所有土地最大的 \(w\) 乘最大的 \(l\)
• 求最小价值

初步分析

我们能够发现对于部分土地是没有价值的，即如果 \(l_i < l_j\) 且 \(w_i < w_j\) ，那么土地 \(i\) 是显然不会产生价值的，那么我们可以去掉它们

先以 \(w\) 从小到大排序，若 \(w\) 相同，则以 \(l\) 从大到小排序

然后从后往前遍历，保证了 \(w_i < w_{i + 1...n}\)，取当前最大的 \(l_{max}\) ，若 \(l_i < l_{max}\) ，则显然 \(l_i\) 可以删除

此时我们发现 \(w_1 < w_2 < w_3 ...w_{n-1} < w_n\)， \(l_1 > l_2 > l_3 > ... > l_{n - 1} > l_n\)

此时我们再列 \(dp\) 式子得到：

\(dp[i] = min(dp[j] + w[i] \times l[j + 1])\)

但我们发现这里的 \(w[i] \times l[j + 1]\) 由于同时牵扯了 \(i,j\) 所以导致我们似乎无法直接快速求出 \(dp_i\) ，所以我们引出斜率优化

斜率优化部分

我们发现对于这个式子 \(dp_j + w[i] \times l[j + 1])\) 我们可以表达成一条直线

这里固定 \(j\) 为定值，则 \(y_j = dp[j] + w[i] \times l[j + 1]\)

其中 \(k = l[j + 1]\) ， \(x = w[i]\) ，\(b = dp[j]\)

这里我们用了逆向思维，将 \(j\) 固定，\(i\) 看为变量，对于每一个 \(j\) ， 构造一条直线

则此就变成了寻找对于当前 \(x\) 能使 \(y\) 坐标最小的直线

然后，该怎么找这个直线呢？

我们考虑维护一个凸包，从而直接找到在某个区间内的最优解

不知道凸包的可以看这里

这里我们维护的是直线之间的交点所构成的凸包

后面我将根据示例代码讲解

...省略

db slope(int x, int y){
    return 1.0 * (db(dp[x] - dp[y]) / db(a[y + 1].l - a[x + 1].l));
}

ll get_y(int i, int j){
    return a[j + 1].l * a[i].w + dp[j];
}

int main(){
    ...省略
    int l = 0, r = 0;
    q[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= len; i++){
        while(l < r && get_y(i, q[l]) >= get_y(i, q[l + 1]))l++;
        dp[i] = get_y(i, q[l]);
        while(l < r && slope(q[r - 1], q[r]) >= slope(q[r], i))r--;
        q[++r] = i;
    }
    cout << dp[len];
    return 0;
}    

我们这里采用的是单调队列维护凸包

我们先来看维护队首这里

while(l < r && get_y(i, q[l]) >= get_y(i, q[l + 1]))l++;

这里的 get_y 值得是当获取直线 \(l\) 其 \(x\) 所对应的 \(y\) 值

因为我们当前在解决 \(x = i\) 的情况，所以如果队首直线对应 \(y\) 值大于下一条直线则弹出

那为什么是正确的？这条直线不会对其它 \(x\) 产生贡献吗？

因为 \(x = w[i]\) 是单调递增的，且由于凸包的性质，这条直线只会在其对应区间内最优，一旦 \(x\) 在区间右侧之后这条直线就不会再产生贡献

然后中间就是直接 \(dp\) ，最优直线就是队首

最后看加入队尾的部分

while(l < r && slope(q[r - 1], q[r]) >= slope(q[r], i))r--;

这里首先要说，这里的 \(slope\) 并不是算的斜率，而是交点（虽然 \(slope\) 翻译过来就是斜率，但是我也不知道为什么那么多人都在写 \(slope\) )，这道题中的斜率本身就是单调递减的，且凸包是由点构成的，所有我们并不需要维护斜率，我们维护的是直线之间的交点，\(slope\) 返回的是交点的横坐标

那我们为什么要比较横坐标呢？

还是因为斜率在单调递减，所以如果直线 \(r - 1\) 与直线 \(r\) 的交点 \(x_1\) 的横坐标大于直线 \(r\) 与新直线的交点 \(x_2\) 的横坐标，那么直线 \(r\) 就无用了，因为凸包的性质所以在 \(x_1\) 左侧直线 \(r - 1\) 显然更小，又因为新直线斜率小，所以 \(x_2\) 右侧新支线显然 \(y\) 值更小

这里给一张图片方便理解