编程之美(六)饮料供货

在微软亚洲研究院上班，大家早上来的第一件事是干啥呢？查看邮件？No

No，是去水房拿饮料：酸奶，豆浆，绿茶、王老吉、咖啡、可口可乐……（当然，还是有很多同事把拿饮料当做第二件事）。

管理水房的阿姨们每天都会准备很多的饮料给大家，为了提高服务质量，她们会统计大家对每种饮料的满意度。一段时间后，阿姨们已经有了大批的数据。某天早上，当实习生小飞第一个冲进水房并一次拿了五瓶酸奶、四瓶王老吉、三瓶鲜橙多时，阿姨们逮住了他，要他帮忙。

从阿姨们统计的数据中，小飞可以知道大家对每一种饮料的满意度。阿姨们还告诉小飞，STC

STC（SmartTeaCorp.SmartTeaCorp.）负责给研究院供应饮料，每天总量为VV。STCSTC很神奇，他们提供的每种饮料之单个容量都是22的方幂，比如王老吉，都是23=823=8升的，可乐都是25=3225=32升的。当然STC

STC的存货也是有限的，这会是每种饮料购买量的上限。统计数据中用饮料名字、容量、数量、满意度描述每一种饮料。

那么，小飞如何完成这个任务，求出保证最大满意度的购买量呢？

分析：动态规划

每种饮料由五个关键参数来描述Si,Vi,Ci,Hi,Bi

Si,Vi,Ci,Hi,Bi （分别对应的是饮料名字、容量、可能的最大数量、满意度、实际购买量）来表示第ii种饮料(i=0,1,...,n−1

i=0,1,...,n−1)

那么饮料总容量为∑n−1i=0

∑i=0n−1​(Vi∗BiVi∗Bi),总满意度为∑n−1i=0∑i=0n−1​(Hi∗BiHi∗Bi)
那么题目的要求就是，在满足条件∑n−1i=0∑i=0n−1​(Vi∗Bi)=VVi∗Bi)=V的基础上，求解maxmax{∑n−1i=0∑i=0n−1​(Hi∗Bi

Hi∗Bi)}

考虑用动态规划求解：用opt(V′,i)

opt(V′,i)表示从ii开始到n−1n−1种饮料，算出总量为V

V‘的方案中满意度之和的最大值

• opt(V,0)

• opt(V,0)即表示我们所要求的值
• 假设我们选择k

k杯ii种饮料，那么我们所得的满意度即为k∗H[i]+opt[V−k∗H[i]][i+1]，opt[V][i]=max(k∗H[i]+opt[V−k∗H[i]][i+1])

• k∗H[i]+opt[V−k∗H[i]][i+1]，opt[V][i]=max(k∗H[i]+opt[V−k∗H[i]][i+1])
• 初始化边界条件：(1) opt[0][n]=0

opt[0][n]=0，表示容量为00的情况下，最优化结果为00 (2) opt[x][n]=−INFopt[x][n]=−INF(−INF−INF为负无穷大)，即在容量不为 0 0的情况下，把最优化结果设为负无穷大，并将其作为初值

动态规划代码

int Cal(int V, int T) { //边界条件初始化 opt[0][T] = 0; for (int i = 1; i <= V; ++i) { opt[i][T] = -INF; } for (int j = T - 1; j >= 0; --j) { for (int i = 0; i <= V; ++i) { opt[i][j] = -INF; for (int k = 0; k <= c[j]; ++k) { //选取第j种饮料数量为k if (i < k * v[j]) break; int x = opt[i - k * v[j]][j + 1]; if (x != -INF) { x += k * h[j]; if (x > opt[i][j]) { opt[i][j] = x; opt_num[i][j] = k; //保存选取第j种饮料的数量 } } } } } return opt[V][0]; }

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备忘录法：打表

用一个表格来保存已解决的子问题的答案，并通过记忆化搜索的方式来避免计算一些不可能到达的状态

int Cal1(int V, int type) { if (type == T) { if (V == 0) return 0; else return -INF; } if (V < 0) return -INF; else if (V == 0) return 0; else if (opt[V][type] == -1) return opt[V][type]; int ret = -INF; for (int i = 0; i <= c[type]; ++i) { int temp = Cal1(V - i * v[type], type + 1); if (temp != -INF) { temp += i * h[type]; if (temp > ret) { opt_num[V][type] = i; ret = temp; } } } return opt[V][type] = ret; }

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测试代码

#include <iostream> #define MAXV 100 #define MAXT 20 #define INF 0x7fffffff #define N 7 using namespace std; int V = 64; int v[N] = {2, 4, 8, 2, 4, 8, 16}; int c[N] = {3, 2, 1, 3, 2, 4, 1}; int h[N] = {20, 30, 25, 30, 15, 30, 100}; int opt[MAXV + 1][MAXT + 1]; int opt_num[MAXV + 1][MAXT + 1]; int T; /* int Cal(int V, int T) { opt[0][T] = 0; for (int i = 1; i <= V; ++i) { opt[i][T] = -INF; } for (int j = T - 1; j >= 0; --j) { for (int i = 0; i <= V; ++i) { opt[i][j] = -INF; for (int k = 0; k <= c[j]; ++k) { if (i < k * v[j]) break; int x = opt[i - k * v[j]][j + 1]; if (x != -INF) { x += k * h[j]; if (x > opt[i][j]) { opt[i][j] = x; opt_num[i][j] = k; } } } } } return opt[V][0]; }*/ int Cal1(int V, int type) { if (type == T) { if (V == 0) return 0; else return -INF; } if (V < 0) return -INF; else if (V == 0) return 0; else if (opt[V][type] == -1) return opt[V][type]; int ret = -INF; for (int i = 0; i <= c[type]; ++i) { int temp = Cal1(V - i * v[type], type + 1); if (temp != -INF) { temp += i * h[type]; if (temp > ret) { opt_num[V][type] = i; ret = temp; } } } return opt[V][type] = ret; } int main() { T = N; int ret = Cal1(V, 0); cout << "0:" << opt_num[V][0] << endl; int k = opt_num[V][0]; int m = V; for (int i = 1; i <= T - 1; ++i) { int temp = opt_num[m - k * v[i - 1]][i]; cout << i << ":" << temp << endl; m -= k * v[i - 1]; k = temp; } cout << ret << endl; return 0; }

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测试结果：