编程之美1.6 饮料供货[动态规划vs贪心算法]
饮料供货是一个求最优解问题。需要在给定最大容量V的前提下，从不同容量不同满意度的饮料中选择满意度最大的集合。
1. 动态规划
动态规划是最常用的解决最优化问题的方法，很容易应用到本题的需求中。用f[V,i]表示从第i,i+1,i+2,...,n-1种饮料中，算出总量为V的方案中满意度之和的最大值。
动态规划方程为：f[V,i] = max{k*Hi + f[V-k*Vi, i+1]}
弄清解法之后，我们不妨来分析一下问题的最优子结构。
根据《算法导论》描述，最优子结构有两种变形：
1) 有多少个问题在原问题的最优解中，
2) 在决定一个最优解中使用哪些子问题时有多少个选择。
在饮料供货问题中，一个最优解只使用了一个子问题，但为了确定最优解，我们必须考虑Ci(第i中饮料可选的最大数量)种选择。
2. 贪心算法
书中提到第二种解法，贪心算法。由于所有饮料的容量都是2的整数幂，这就给贪心创造了条件。
假设给定的容量为V，我们可以把V写成二进制的形式，不妨设V=7，二进制的写法为111。
接下来我们就从最低位开始取：
第一步，取第一个1：拿出容量为1满意度最大的饮料，
第二步，取第二个1：使用剩余容量为1的饮料构造容量为2的饮料，比如(1,2)(1,3)构造出(2,5)，并从新构造的和原有容量为2的所有饮料中选出满意度最大的。
第三步，取第三个1：递归构造容量为4的饮料，并从新构造的和原有容量为4的所有饮料中选出满意度最大的。
3.定义饮料类
首先需要定义一个饮料的类：
struct Drink
{
int Volume;
int TotalCount;
int Happiness;
Drink(int v, int t, int h)
{
Volume = v;
TotalCount = t;
Happiness = h;
}
};
建立一个存储饮料的全局动态数组，用于存放所有饮料，由于同时兼顾动态规划和贪心算法两种方法，我们使用了一个二维数组。
drink[i][j]表示容量为2^i的第j个饮料。
vector<vector<Drink> > drinks;
void initialize()
{
ifstream fin("drink.txt");
int v,t,h;
while(fin>>v>>t>>h)
{
while(drinks.size()<=v)
{
drinks.push_back(vector<Drink>());
}
drinks[v].push_back(Drink((int)pow(2,v),t,h));
}
fin.close();
}
创建样例输入drink.txt。
0 2 2
0 2 3
0 3 5
0 3 4
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 1 18
2 2 12
接下来使用两种方法求解当V=7时的最高满意度值。
4.动态规划解法
const int MAXV=101;
const int MAXT=101;
int opt[MAXV][MAXT];
// 动态规划
int GetMaxHappinessByDP1(int V)
{
int maxHappiness = 0;
vector<Drink> temp;
for (int i=0; i<drinks.size(); ++i)
for(int j=0; j<drinks[i].size(); ++j)
temp.push_back(drinks[i][j]);
int T = temp.size();
// init
for(int i=0; i<=T; ++i)
opt[0][i] = 0;
for (int i=0; i<=V; ++i)
opt[i][T] = 0;
for (int i=T-1; i>=0; --i)
{
for(int j=0; j<=V; ++j)
{
opt[j][i] = 0;
for (int k=0; k<=temp[i].TotalCount; ++k)
{
int v = temp[i].Volume*k;
int h = temp[i].Happiness*k;
if (v<=j && opt[j-v][i+1]+h>opt[j][i])
{
opt[j][i] = opt[j-v][i+1]+h;
}
}
}
}
return opt[V][0];
}
动态规划数组输出结果：
V
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
5
5
4
0
0
0
0
0
0
2
10
10
10
8
6
5
4
0
0
0
3
15
15
15
12
6
5
4
0
0
0
4
19
19
19
18
18
18
18
18
12
0
5
23
23
23
22
18
18
18
18
12
0
6
28
28
28
26
24
23
22
18
12
0
7
33
33
33
30
24
23
22
18
12
0
只需要读取opt[7][0]即可获得最高满意度为33。
5.贪心解法
int TakeOutMax( int k)
{
int maxHappiness = 0;
if (k < 0) return 0;
if (k > 0){
int t =k/2;
int h = TakeOutMax(t);
if (h>0){
drinks[t].push_back(Drink((int)pow(2,t), 1, h));
h = TakeOutMax(t);
if (h>0)
{
drinks[t].push_back(Drink((int)pow(2,t), 1, h));
}
}
int p1, p2;
p1 = p2 = -1;
for (int i=0; i<drinks[t].size(); i++)
{
for (int j=i+1; j<drinks[t].size(); ++j)
{
if (drinks[t][i].TotalCount>0 && drinks[t][j].TotalCount>0 && drinks[t][i].Happiness+drinks[t][j].Happiness>maxHappiness)
{
maxHappiness = drinks[t][i].Happiness+drinks[t][j].Happiness;
p1 = i;
p2 = j;
}
}
}
if (p1 >-1 && p2 > -1)
{
drinks[t][p1].TotalCount--;
drinks[t][p2].TotalCount--;
drinks[k].push_back(Drink((int)pow(2,k), 1, maxHappiness));
}
}
int p=-1;
maxHappiness = 0;
for (int i=0; i<drinks[k].size(); ++i)
{
if (drinks[k][i].TotalCount>0 && drinks[k][i].Happiness>maxHappiness)
{
maxHappiness = drinks[k][i].Happiness;
p = i;
}
}
if (p >=0 ){
drinks[k][p].TotalCount--;
}
return maxHappiness;
}
// 贪心算法
int GetMaxHappinessByGreed(int V)
{
int k = V;
int i=0;
int happiness = 0;
while(k)
{
if (k & 1) happiness += TakeOutMax(i);
k >>= 1;
i++;
}
return happiness;
}
贪心解法中TakeOutMax()函数会改变drinks数组。
最后的返回值是一样的：33。
6.总结
1)动态规划解法中，前两层循环的次序可以颠倒。也就是在生成的动态数组中，我们可以从上往下一行一行地填，或者从右往左一列一列地填都不影响最后结果，最关键的是需要事先把边界值设定好，最上面一行全为0，最右边一列全为0。
2)贪心算法的思路其实并没有动态规划清晰，但也容易想通，算法的复杂度我没有仔细研究，欢迎大家讨论。
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作者：lichaoyin
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/lichaoyin/article/details/9983883
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