逆滤波与维纳滤波（二）
在数学应用上，对于运动引起的图像模糊，最简单的方法是直接做逆滤波，但是逆滤波对加性噪声特别敏感，使得恢复的图像几乎不可用。最小均方差（维纳）滤波用来去除含有噪声的模糊图像，其目标是找到未污染图像的一个估计，使它们之间的均方差最小，可以去除噪声，同时清晰化模糊图像。
定义
给定一个系统
- x(t)是在时间 t刻输入的信号（未知）
- h(t
是一个线性时间不变系统的脉冲响应（已知） - n(t
是加性噪声，与x(t
不相关（未知） - y(t)是我们观察到的信号
我们的目标是找出这样的卷积函数g(t)g(t)，这样我们可以如下得到估计的x(t)x(t)：
这里x^(t)x^(t)是x(t)x(t)的最小均方差估计。
基于这种误差度量， 滤波器可以在频率域如下描述:
维纳滤波相比于逆滤波考虑了加性噪声的影响：
解释
上面的式子可以改写成更为清晰的形式：
H(f)是退化函数的频率域傅里叶变换。
是信号噪声比。当噪声为零时（即信噪比趋近于无穷），方括号内各项也就等于1，意味着此时刻维纳滤波也就简化成逆滤波过程。但是当噪声增加时，信噪比降低，方括号里面值也跟着降低。这说明，维纳滤波的带通频率依赖于信噪比。
推导
上面直接给出了维纳滤波的表达式，接下来介绍推导过程。
上面提到，维纳滤波是建立在最小均方差，可以如下表示：
这里 E是期望
如果我们替换表达式中的X^(f)，上面可以重新组合成:
展开二次方，得到下式：
然而，我们假设噪声与信号独立无关，这样有
并且我们如下定义功率谱
这样我们有
为了得到最小值，我们对 G(f)G(f)求导，令方程等于零。
由此最终推出维纳滤波器。
%---------------------------公式法---------------------------- fourier_H_motion=fft2(H_motion,width,height); %H(u,v) pow_H_motion=abs(fourier_H_motion).^2; %|H(u,v)|^2 noise=motion_blur_noise-motion_blur; %提取噪声分量 fourier_noise=fft2(noise); % N(u,v) 噪声傅里叶变换 fourier_double_gray_pic=fft2(double_gray_pic); %F(u,v)为未经过退化的图片 nsr=abs(fourier_noise).^2./abs(fourier_double_gray_pic).^2; %噪信比=|N(u,v)|^2/|F(u,v)|^2 H_w=1./fourier_H_motion.*pow_H_motion./(pow_H_motion+nsr); %H_w(u,v)=1/H(u,v)*|H(u,v)|^2/[|H(u,v)|^2+NSR] fourier_motion_blur_noise=fft2(motion_blur_noise); %G(u,v) restore_with_noise=ifft2(fourier_motion_blur_noise.*H_w); %输出频域=G(u,v)H_w(u,v)，时域为频域傅里叶逆变换 figure('name','公式法维也纳滤波'); subplot(1,2,1);imshow(motion_blur_noise,[]);title('运动模糊添加噪声') subplot(1,2,2);imshow(restore_with_noise,[]);title('维也纳滤波')
可见在噪声较大的时候，我们采用维纳滤波消除部分噪声的影响，能够获得较好的图片。
参考：https://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355?utm_source=app
