【FBI WARNING】DP 从看透到看开

众（自）所（己）周（瞎）知（说） DP在NOIP应用的很多

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度， 因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

现在让我们通过一个例子来了解一下DP的基本原理。

首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。  ——by Hawstein

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什么是动态规划？

     和分治法一样，动态规划（dynamic programming）是通过组合子问题而解决整个问题的解。

     分治法是将问题划分成一些独立的子问题，递归地求解各子问题，然后合并子问题的解。

     动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。

     此时，分治法会做许多不必要的工作，即重复地求解公共的子问题。动态规划算法对每个子问题只求解一次，将其结果保存起来，从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。

适用范围

     最优性原理体现为问题的最优子结构特性。当一个问题的最优解中包含了子问题的最优解时，则称该问题具有最优子结构特性。

     最优性原理是动态规划的基础。任何一个问题，如果失去了这个最优性原理的支持，就不可能用动态规划设计求解。

     1.问题中的状态满足最优性原理。

     2.问题中的状态必须满足无后效性。

     所谓无后效性是指：“下一时刻的状态只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态无关，当前状态是对以往决策的总结”。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——by 剑仙

 对于它的设计 我感觉应该有两种方法：

 　　自顶向下（直接跑记忆化搜索）：基本上对应着递归函数实现，从大范围开始计算，要注意不断保存中间结果，避免重复计算。

    　自底向上（递推）：从小范围递推计算到大范围。

DP有特别重要的两点：

1.写出方程。

2.确定边界。

 

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举个栗子

一个人每次只能走一层楼梯或者两层楼梯，问走到第80层楼梯一共有多少种方法。

当我第一次看到这个题目的时候 感觉特别难 无从下手 仔细想想 还是有思路的

 

这个题是经典的一维动态规划。爬楼梯数目其实是一个斐波拉契数列。

 

假定f[i] 表示是爬到第i层的方法，那么f[i] = f[i-1] + f[i-2] //第i层的方法数目等于第i-1层数目加上第i-2层数目。

初值：f[0] = 1, f[1] = 1。 //最开始没有爬和第一层的方法数目为1.

输出：f[n] 爬到第n层的方法数目。

上代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int f[10001] = {0};//初始化一下 避免后面出故障
int main()
{
    int num;
    cin>>num;//可以配合顶置帖子的那个读入优化写 本题无所谓 
    f[1] = 1;//爬到第一层只有一种方法：一次爬一个
    f[2] = 2;//爬到第二层有两种方法：一次爬一个、一次爬两个
    for(int i = 3; i <= num; i++)
        {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];//递推公式
    }
    cout<<f[num]<<endl;//到第sum层
    return 0;
}
    

 

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有时间继续补充（逃