【学习笔记】博弈论

公平组合游戏

OI 中的博弈论基本都是公平组合游戏。其指：

• 游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息；

• 任意一个游戏者在某一确定状态可以作出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关；

• 游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。

nim 游戏

博弈论的一大基石。有 \(n\) 堆石子，两人轮流游戏，每人每次选择一堆不为空的石堆扔掉至少一个石子。无法操作即为负。问先手是否必胜。

先说结论。记 \(A=\large\oplus_{i=1}^n a_i\)，若 \(A\ne0\) 则先手必胜，否则先手无必胜策略。

考虑归纳证明：

• 记有序可重集合 \(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 为一个有效状态 \(S\)，若状态 \(X\) 可通过一次操作得到状态 \(Y\)，就称 \(Y\) 是 \(X\) 的后继状态。若一个状态的所有后继状态都是必胜状态，则这个状态为必败状态；若一个状态有任意一个后继状态为必败状态，则该状态为必胜状态，因为你可以通过这个转移使得对方得到一个必败状态。

• 首先所有石子为 \(0\) 为必败状态，且只有该状态没有后继状态。此时 \(A=0\)，满足题设。

• 若此时 \(A\ne0\)，一定存在一种操作使得操作后的 \(A'=0\)。记 \(A\) 的二进制最高位为 \(k\)，则至少有一个 \(a_i\) 满足 \(a_i\) 第 \(k\) 位为 \(1\)。该 \(a_i\) 显然满足 \(a_i>a_i\oplus A\)，于是操作该堆石子即可得到合法转移。

• 若此时 \(A=0\)，显然一定不存在一种操作使得操作后的 \(A'=0\)。

• 于是如果你一开始有 \(A=0\)，那么你的对手永远有方法不得到 \(A=0\) 的状态，最后走到全为 \(0\) 的状态的只能是你，于是这就是必败状态。反之如果你一开始 \(A\ne0\)，那你就有办法一直让 \(A=0\) 的状态位于对方手里，于是这就是必胜状态。