Rose的数论题

Rose的数论题

题意：给定模数P=\(n个不同质因数p_i\)的乘积，给出pi，对于给定的m，输出\(\sum_{x=0}^{P-1} [x^m=x \pmod P]\)，\(n \le 1e5,p_i,m \le 1e18\)

先考虑\(n=1\)：

rose告诉我可以打表，然后打了半天啥也没看出来，理性分析一下发现不难，可能打表水平是真的低（xld表示难以置信）

需要掌握模意义的阶、原根相关知识；为了下文方便，忽略x=0的情况即当做是\(x^{m-1}=1 \pmod P\)，最后+1即可

即原根为g，\(将x表示为g^i\)，\(对于j \in [0,p-2]，ans_{j+1}=\sum_{i=0}^{p-2} [g^{ij}=1]\)

考虑到\(阶(g)=p-1\)，\(阶(g^j)=最快多少步能到p-1=lcm(j,p-1)/j\)

根据阶的性质，\(阶(g^j)|i\)，即\(ans_{j+1}=\frac{p-1}{阶(g^j)}=gcd(j,p-1)\)，因此可能可以打表发现

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那么对于\(n>1\)：也不难啊，居然没想到qwq……

还是先不考虑x=0，还是写成\(x^{m-1}=x \pmod P\)，变形一下，\(x^{m-1}-1=0 \pmod P\)

显然有\(\forall i,(x^m-1) \%p_i=0\)这个必要条件，而根据中国剩余定理这是充分的

在每个子问题中可行的解（不含0）中选一个，构成n条同余方程，中国剩余定理告诉我们在模P意义下恰一个解，且非0

因此最后答案为，\(1+\prod_{i=1}^n gcd(m-1,p_i-1)\)

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rose从zjt处得知，借助抽象代数知识，可以做质因子次幂不为1的情况