洛谷 P4660 & bzoj 1168 [ Baltic OI 2008 ] 手套 —— 分析+单调栈

题目：https://www.luogu.org/record/show?rid=12702916

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1168

一眼不可做...即使数据范围很小...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=25;
int n;
ll a[xn],b[xn],inf=1e17;
bool cmp(int x,int y){return b[x]>b[y];}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
  ll ansa=0,ansb=0; int tot=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      if(a[i]&&!b[i])ansa+=a[i];
      else if(!a[i]&&b[i])ansb+=b[i];
      else if(a[i]&&b[i])a[++tot]=a[i],b[tot]=b[i];
    }
  int mx=(1<<tot); ll pa=inf,pb=inf;
  for(int s=0;s<mx;s++)
    {
      ll tmpa=0,tmpb=0,mxa=inf,mxb=inf; int cnta=0;
      for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
      if(s&(1<<(i-1)))tmpa+=a[i],mxa=min(mxa,a[i]-1),cnta++;
      else tmpb+=b[i],mxb=min(mxb,b[i]-1);
    }
      if(cnta==tot)tmpa-=mxa; if(cnta==0)tmpb-=mxb;
      if(!cnta)tmpa++; else tmpb++;
//      if(cnta==tot)tmpa-=mxa,tmpb++;
//      else if(cnta==0)tmpb-=mxb,tmpa++;
//      else tmpa-=mxa,tmpb++;
      if(tmpa+tmpb<pa+pb)pa=tmpa,pb=tmpb;
    }
  printf("%lld\n%lld\n",pa+ansa,pb+ansb);
  return 0;
}

首先，设每种颜色左右手套个数为 l[i]，r[i]，如果有 l[i]=0 或 r[i]=0，显然最劣情况要选，所以提前处理好；

设一个状态 ans(L)，表示左手套取 L 个时的答案；

显然，这个答案是唯一的而且最劣的，现在要找到这个答案；

取 L 个左手套，根据取法的不同，可以取出许多种颜色集合，把每一个可能的集合记作 T；

而这些颜色集合又组成了一个集合，记作 A(L)，表示选 L 个左手套会产生的颜色集合的集合；

考虑每个集合 T，在右边都对应一种最劣的选法，就是把不在 T 中的颜色都选了，最后再+1；

设这个为 R(T)，即 R(T) = (∑r[i]) + 1，其中 i 不在集合 T 中；

所以，ans(L) = max{ R(T) }，其中 T 是 A(L) 中的一个集合，这样做很妙地没有限制什么而找到了最劣答案，保证了正确性；

现在，考虑 A(L) 中有哪些 T，发现：

A(L) = { T | |T| <= L <= S(T) }，其中 |T| 是 T 这个集合包含的颜色数量，S(T) 是 T 这个集合包含的那些颜色的手套个数的和；

由于我们找的是 max{ R(T) }，而 |T| 越小，R(T) 越大，所以最终 ans(L) 的取值会是合法范围内某个 |T| 最小的，所以可以暂时忽略 |T| <= L 这个条件！!

所以，现在就变成若 S(T) >= L，则 R(T) 可以更新 ans(L)；

然后，可以发现，会成为最终答案的 L，应该是某些颜色的手套全选，最后再+1，否则...应该不是最优的(感性理解...)；

所以处理出这种 L，找 S(T) >= L 中 R(T) 最大的，可以用单调栈实现；

用结构体存一种集合的 S(T) 和 R(T)，S(T) 同时也是上面所说的 L，按 S(T) 从小到大排序，不断弹栈令栈内 R(T) 是单调递减的，就能找到一个结构体后面(S(T) >= L)的 R(T) 最大值，对于一个 R(T) 也能去更新前面同等条件最小的 L；

还有些疑惑之处...就是一些 L 相同的结构体，排序时按 r<y.r 或 r>y.r 都可以过...但是感觉应该是 r<y.r 才对！后面就可以把前面都弹掉，则栈里后面元素的 S(T) 一定 >= L+1；

但如果栈里最后只留下一个值...难道因为这样构造所以不会出现这种情况？

总之勉强A了，思路还是很妙的。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int const xn=25;
int n,a[xn],b[xn],ansl,ansr,sta[1<<20],top;
struct N{
  int l,r;
  bool operator < (const N &y) const
  {return l==y.l?r<y.r:l<y.l;}//
}f[1<<20];
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0; ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
void update(int x,int y)
{
  if(ansl+ansr>x+y||(ansl+ansr==x+y&&ansl>x))
    ansl=x,ansr=y;
}
int main()
{
  n=rd(); int pl=0,pr=0,tot=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      if(a[i]&&!b[i])pl+=a[i];
      else if(!a[i]&&b[i])pr+=b[i];
      else if(a[i]&&b[i])a[++tot]=a[i],b[tot]=b[i];
    }
  int mx=(1<<tot);
  for(int i=0;i<mx;i++)
      for(int j=1;j<=tot;j++)
    {
      if(i&(1<<(j-1)))f[i].l+=a[j];
      else f[i].r+=b[j];
    }
  sort(f,f+mx);
  for(int i=0;i<mx;i++)
    {
      while(top&&f[sta[top]].r<f[i].r)top--;
      sta[++top]=i;
    }
  ansl=1e9; ansr=1e9;
  for(int i=1;i<top;i++)update(f[sta[i]].l+1,f[sta[i+1]].r+1);
  printf("%d\n%d\n",ansl+pl,ansr+pr);
  return 0;
}