2021.1.15 刷题（爬楼梯-动规练习）

ps：最近在学习动态规划，昨天的零钱兑换理解的有点费劲，所以今天找了一题更为基础的动规题学习一下。
这一题实质就是斐波那契数列。
学习链接：https://labuladong.gitbook.io/algo/dong-tai-gui-hua-xi-lie/dong-tai-gui-hua-ji-ben-ji-qiao/dong-tai-gui-hua-xiang-jie-jin-jie
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

解题思路：
1.确定base case。
当爬第0级台阶或爬第1级台阶，只有1种方案。即dp[0] = 1, dp[1] = 1。
2.确定【状态】，原问题和子问题种会变化的变量。
爬第几级台阶会不断的向base case靠近，唯一的【状态】是台阶级数。
3.确定【选择】，导致【状态】产生变化的行为。
一次爬1级台阶还是2级台阶就是【选择】，从而导致台阶数发生变化。
4.明确dp函数/数组的定义。
函数的参数就是状态转移中变化的量，即【状态】。
函数的返回值就是要求计算的量，即多少种方法。
所以定义dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
5.确定状态转移方程：
用 f(x) 表示爬到第 x 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以状态转移方程：f(x)=f(x−1)+f(x−2)。
代码：
方法一：时间复杂度O（n），空间复杂度O(n)。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        int i;
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(i = 2;i <=n; i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

方法二（优化）：
f(x)只和f(x−1) 与f(x−2) 有关，只需要保存前两个值，可以用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成O(1)。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(3, 0);
        int i;
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            dp[2] = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dp[2];
        }
        return dp[1];
    }   
};