天工开数——因式分解(三)

天工开数——因式分解(三)

在前面一讲我们一起学习了提取公因式法和公式法中需要注意的一些技巧与方法

这一讲我们继续探讨因式分解中的分组分解和拆添项

分组分解

我们首先来看一个整式

ax-by-bx+ay

其中没有任何公因式可以提取，也不满足任何公式的写法

这时候我们就需要对原式进行适当的分组

三步走

所谓三步走

就是我们的分组分解大致可以分为3步

1. 将原式按照一定的规律进行分组
2. 对每一组进行因式分解
3. 再对整体进行提取公因式、公式法等

例如，对于整式

ax-by-bx+ay

我们可以按照x和y先对其进行分组

原式=(ax-bx)+(ay-by)

再提取公因式

=x(a-b)+y(a-b)

=(a-b)(x+y)

多种途径

我们在分组分解的时候

所采用的方法往往不是固定的

或者说

我们所依托的目标往往是可以变化的

但归根结底的目标是相同的

同样的

对于上述的例子

ax-by-bx+ay

我们可以先通过a和b分组

原式=ax+ay-(bx+by)

=a(x+y)-b(x+y)

=(a-b)(x+y)

虽然我们分组的依据不同

但是最终的结果都是一样的

殊途同归

例：分解因式x²+ax²+x+ax-1-a

按照x的幂来分组

原式=(x²+ax²)+(x+ax)+(1+a)

=(1+a)(x²+x+1)

同学们可以尝试一下按字母a的幂来分组

平均分配

在上一个例子中，项的个数是平均分配的，我们这样分组的目的也很简单

就是为了让每一组都可以提取公因式

如果是为了提取公因式，我们首先要做到的一个原则就是平均分配

例如

因式分解

x³-2x²-x+2+x⁵-2x⁴

原式=(x⁵-2x⁴)+(x³-2x²)-(x-2)

=x⁴(x-2)+x²(x-2)-(x-2)

=(x-2)(x⁴+x²-1)

巧用公式

如果我们分组分的不恰当，往往就会导致分组过后无法再次因式分解

这时候我们就要考虑分组的依据是否合适

例如，对于式子

x³+x²-y³-y²

按照正常思维

是要把x的项放在一起，y的项放在一起

那么原式=(x³+x²)-(y³+y²)

=x²(x+1)-y²(y+1)

这样分组就会使得因式分解无法继续下去

所以我们就需要尝试另外一种思路进行因式分解

原式=(x³-y³)+(x²-y²)

=(x-y)(x²+xy+y²)+(x+y)(x-y)

=(x-y)(x²+xy+y²+x+y)

拆项与添项

拆项分配

在某些情况下，为了更方便的进行分组分解

我们需要对其中的某一项或者一些项进行拆分或合并的操作

例如对于整式

x⁴-4x+3

这个整式一共有三项

没法做到平均分配

这样我们就需要对其进行拆项

原式=x⁴-x-3x+3

=(x⁴-x)-(3x-3)

=x(x-1)(x²+x+1)-3(x-1)

=(x-1)²(x²+2x+3)

再比如

对于式子

a³+3a²+3a+b³+3b²+3b+2

前三项比完全立方公式少1，后三项的和也比完全立方公式少1

这时候我们就把2拆为2个1分配给每一项

这样我们就得到

原式=(a³+3a²+3a+1)+(b³+3b²+3b+1)

=(a+1)³+(b+1)³

=(a+b+2)(a²-ab+b²+a+b+1)