【通俗易懂】蓄水池抽样算法-等概率地从n个数中随机抽出m个数

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碰到了个题目，题目大概意思如下

题目描述：随机的从大小为n的数组中选取m个整数，要求每个元素被选中的概率相等。

网上给出的大部分答案如下：

分析与解答：首先从有N个元素的数组中随机选出一个元素，然后把这个选中的数字与数组中第一个元素交换，接着从数组后面N-1个数字中选出1个元素与数组中第二个元素交换，以此类推，直到选出m个数字为止，数组前m个数字就是随机选出来的m个数字，且他们被选中的概率相同。

说实话看得迷迷糊糊的，最关键的是不知道为什么这么做，尝试通俗易懂的解答这个问题，记录在此。

其实整个题目可以用上面这个图表示，最后每个值，留在红框内的概率都要是  ，因此可以换一种计算方式，计算留在红圈内的概率

留在红圈内的概率=进入红圈的概率 * 不被换出红圈的概率

最关键的就在这，我们需要分别分析这两个的概率，而每一个情况中，需要再拆成小于m的情况，和大于m的情况，也就是说有四种情况，最终结果如下：

	进入红圈的概率	不被换出红圈的概率	总概率(相乘)
i<=m	1	m/n	m/n
m<i<=n	m/i	m/n	m/n

等分析完再来看这个表，会一目了然

一、进入红圈的概率

1、当  时，直接放入红圈，概率为1

2、当  时，从  中抽取随机抽取一个数的位置id，即  ，然后把下标为d的值换走，把下标为i的值换进去，此时换进去的概率是  ；

二、不被换出红圈的概率

1、当  时

这种情况是从  项才开始可以把  换出去；我们以  的时候为例，从上文的情况可以知道，  被换的概率是  ，而他在第  次被换出的概率是  。  的情况可以以此类推。最后得：

至此，我们是可以知道在  时，被放入红圈的概率是：

 

2、当  时

 被换入的概率已知是  ，假设  被换入红圈了，从  项开始就有可能再把第  项换出来了，即

至此，我们是可以知道在  时，被放入红圈的概率是：

最后再看上面那个表格，是不是就十分清楚！！！

 

作者：卓师叔，爱书爱金融的NLPer

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