数据结构——ST表

倍增

原理：

只递推状态空间在2的整数次幂位置上的值作为代表。当需要其他位置的值时，我们通过“任意整数可以表示成若干个2的次幂项的和”这一性质，使用之前求出的代表值拼出所需要的值。

要求：

状态空间关于2的次幂具有可划分性

一个例子：快速幂（体现倍增与二进制划分思想）

int power(int a,int b,int p)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans=ans*a%p;//取出最后一位，判断b是否为奇数
        a=a*a%p;//每一位按二进制更新权值
        b>>=1;//舍弃最后一位
    }
    return ans;
}

快速幂忘了，多花了十分钟重新学。。。我太弱了QAQ

P.S.位运算什么的自己去看看就好了，很有用的。

倍增实现ST算法（划重点）

先提一下，ST算法主要是用来解决区间最值问题的(RMQ)

RMQ：给定一个长度为N的数列A，求下标为闭区间[l,r]中A_i的最值。

ST算法复杂度：O(nlogn) 预处理，O(1)在线回答

实现：

设F_i,j表示子区间[i，i+2j-1]里的最大值，也就是从i开始的2^j个数的最大值。边界F[i,0]=A[i]。

当询问任意区间[l,r]的最值时，先计算出区间长度，满足2^k<r-l+1的前提下最大的k。

那么  从l开始的2^k个数 与  以r结尾的2^k个数  两端一定覆盖了l，r。

 

 

code：

int log[N];//log[i]表示log2 d向下取整
log[0]=-1;//边界条件，使log[1]=0;
void ST_prework()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=a[i],log[i]=log[i>>1]+1;//预处理边界，log值
     for(int j=1;j<log[N];j++)   //共能划分出log 2 N个区间
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)　　//当前区间要小于总区间长度
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int ST_query(int l,int r)
{
    int k=log[r-l+1];                  //求k
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);       //两段取最大值
}

 总的来说，ST表在RMQ问题上，不管是时间还是空间都表现得非常优秀。但是一遇到修改，ST表就不好维护了。

这时我们就要用到更加复杂高级的数据结构——线段树！

下篇更吧。线段树还不是很熟。QAQ