SG函数与SG定理

抽象模型：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。
任何一个公平组合游戏(ICG)都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的后继局面连一条有向边来抽象成这个模型
对于这个DAG,所有出度为0的点为P点(必败点)，继而可以推出所有点是P还是N

sg的值的定义：
(1)若当前局面x为终结局面(P点)，则sg值为0
(2)若当前局面x非终结局面，其sg值为：sg(x) = mex{sg(y) | y是x的后继局面}
mex{a}表示集合a中未出现的最小非负整数

性质
若一个局面x，其sg(x)>0，则一定存在一个后续局面y，sg(y) = 0 (N一定可以到P)
若一个局面x，其sg(x)=0，则x的所有后续局面y，sg(y) > 0 (P只能到N)

sg定理：对于多个单一游戏，X = x[1..n]，每一次我们只能改变其中一个单一游戏的局面。则其总局面的sg值等于这些单一游戏的sg值异或和。即：
sg(X) = sg(x[1]) ^ sg(x[2]) ^ … ^ sg(x[n])

若sg(X) = a > 0，意味着当前操作者可以通过改变x[1..n]中的一个值(一次操作)把sg(X)的值变为[0,a)之间的数，所以可以把sg(X)变成0使下一个操作者面对必败局面(sg(X) = 0,为P点)
可见，定义sg就是为了把复杂的情况简化，使其适用于最普通的Nim博弈模型(多堆取石子)，而sg的值就是代表每一堆的石子数量，因为根据sg的定义，若sg(x) = a，对于任意一个0 <= b <= a，总存在x的后继局面y，使得sg(y) = b，而对于任意一堆石子，若当前石子数量为a，则下一次该堆石子的数量必定为[0,a)