莫比乌斯反演与杜教筛

莫比乌斯反演
设\(f(n)\)和\(g(n)\)是定义在正整数集合上的两个函数

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \]

当且仅当$$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$$
另一种形式

\[f(n)=\sum_{n|d}g(d) \]

当且仅当$$g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$$
杜教筛

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

其中\(h(i)=(f*g)(i)\)    \(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(n)\)