差分
算子
无限微积分中, 符号\(D\)为微分算子. 我们有:
\[Df(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}h
\]
在有限微积分中, 类似地我们定义差分算子\(\Delta\):
\[\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)
\]
我们注意到, \(D\)与\(\Delta\)都被称为算子, 因为它们作用在函数上, 给出新的函数.
下降幂与上升幂
在微积分中, 我们有对于函数
\[f(x) = x^m
\]
我们将其微分, 有
\[Df(x) = mx^{m - 1}
\]
那么, 在整数范围内, 是否也有类似的东西呢?
我们考虑用\(\Delta\)来表示类似于\(d\)的东西, 我们称其为算子, 其作用是在函数上给出新的函数, 也就是说, 它们是函数的函数, 用于产生函数.
我们考虑计算一些类似的情况:
\[\Delta(x^3) = (x + 1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1
\]
好吧, 我们发现, 通过这种方式求出的算子是非常不优美的, 难以与微积分得到的结果相提并论.
然而, 这是否就意味着有限微积分难以实现呢? 非也. 让我们抛弃原有的幂运算, 定义一种新的运算: 下降幂和上升幂, 也就是\(x^{\underline{m}}\)和\(x^{\overline{m}}\).
\[x^{\underline m} = x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 1)
\]
\[x^{\overline m} = x(x + 1)(x + 2) ... (x + m - 1)
\]
差分算子
尝试在下降幂的基础上计算算子\(\Delta\), 我们会得到如下结果(注意, 在有限微积分中我们一般考虑的都是下降幂):
\[\begin{aligned}
\Delta(x^{\underline m}) &= (x + 1)^{\underline m} - x^{\underline m} \\
&= (x + 1)x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 2) - x(x - 1)(x - 2) ... (x - m + 1) \\
&= mx(x- 1)(x - 2) ... (x - m + 2) \\
&= mx^{\underline{m - 1}}
\end{aligned}
\]
这个结论还是非常优美的
求和
关于不定积分和定积分
首先需要搞清楚的问题是: 不定积分和定积分有什么区别?
-
不定积分是微分算子\(D\)的逆运算, 求的是一个函数的原函数.
-
定积分求的是一个函数的图形在一个闭区间上和\(x\)坐标轴围成的面积.
-
不定积分和定积分之间的关系由牛顿-莱不尼茨公式联系起来:
-
\[假设F为f的原函数 \\
则有\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
\]
不定和式
考虑在无线微积分中, 我们是如何把积分算子\(\int\)与微分算子\(D\)联系起来的:
\[g(x) = Df(x)当且仅当\int g(x)dx = f(x) + C
\]
这里\(\int g(x)dx\)是\(g(x)\)的不定积分.
类似的, \(\Delta\)也有一个逆运算, 即求和算子\(\sum\):
\[g(x) = \Delta f(x)当且仅当\sum g(x)\delta(x) = f(x) + C
\]
这里的\(\sum g(x)\delta(x)\)是\(g(x)\)的不定和式, 它得到的是一个差分等于\(g(x)\)的函数类.
和式
我们注意到, 无限微积分同时也有定积分, 比如说, 假如\(g(x) = Df(x)\), 则有
\[\int_a^b g(x)dx = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)
\]
因此有限微积分也有类似的确定的和式: 如果\(g(x) = \Delta f(x)\), 那么
\[\sum_a^b g(x)\delta x = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)
\]
考虑\(\sum_a^b g(x)\delta x\)的意义是什么? 比如说\(a = b\)的情况:
\[\sum_a^b g(x)\delta x = f(b) - f(a) = f(a) - f(a) = 0
\]
再比如说\(b = a + 1\)的情况:
\[\sum_a^b = f(a + 1) - f(a) = g(a)
\]
因此我们发现, \(\sum_a^b g(x)\delta x\)的确切含义是
\[\sum_a^b g(x)\delta x = \sum_{k = a}^{b - 1} g(k) = \sum_{a \le k < b} g(k)
\]
因此我们要注意去掉上界处的值.
然而, 我们发现以上这种情况要求\(a \le b\), 假如\(a > b\)会发生什么呢?
\[\begin{aligned}
\sum_a^b g(x)\delta x &= f(b) - f(a) \\
&= -(f(a) - f(b)) \\
&= - \sum_b^a g(x)\delta x
\end{aligned}
\]
这是与定积分对应的方程. 同时, 我们还发现\(\sum_a^b \sum_b^c = sum_a^c\), 这与\(\int a^b + \int_b^c = \int_a^c\)相类似.
以上这些结果有什么用呢? 显然是有用的. 这种平行和类似 的结果得到了如下结论:
\[\sum_{0 \le k < n} k^{\underline{m}} = \frac{n^{\underline{m + 1}}}{m + 1}
\]
这样强行平行过来, 我也很绝望啊
有了这个结论, 我们就可以轻易地完成这个问题:
\[\sum_{0 \le k < n}k = \frac{n^2}{2} = n(n - 1) / 2
\]
通常的幂也可以用类似方法求和:
\[k^2 = k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}
\]
因此有:
\[\begin{aligned}
\sum_{0 \le k < n} k^2 &= \frac{n^{\underline{2 + 1}}}{2 + 1} + \frac{n^{\underline{1 + 1}}}{1 + 1} \\
&= \frac 1 3 n(n - 1)(n - 2) + \frac 1 2 n(n - 1) \\
&= \frac{(n - 1)n(2n - 1)} 6
\end{aligned}
\]
这就通过更简单的方法解决了之前提到的问题.
考虑更进一步, 计算立方和. 我们有:
\[k^3 = k^{\underline{3}} + 3k^{\underline{2}} + k
\]
因此我们得到了
\[\begin{aligned}
\sum_{0 \le k < b} k^3 = \frac{k^{\underline{4}}} 4 + k^{\underline{3}} + \frac{k^{\underline{2}}} 2
\end{aligned}
\]
(实际上自然数幂求和的其中一种方法就是这样)
次数为负的下降幂
我们注意到, 以上的所有内容都满足\(x^{\underline{m}}\)中\(m \ge 0\). 考虑\(m < 0\)是什么样的情况呢?
我们注意到
\[x^{\underline{3}} = x(x - 1)(x - 2) \\
x^{\underline{2}} = x(x - 1) \\
x^{\underline{1}} = x \\
x^0 = 1
\]
因此
\[x^{\underline{m}} = x^{\underline{m + 1}} / (x - m)
\]
往下推进得到:
\[x^{\underline{-1}} = x^{\underline{0}} / (x - (-1)) = x^{\underline{0}} / (x + 1) = \frac 1 {x + 1} \\
x^{\underline{-2}} = \frac 1 {(x + 1)(x + 2)} \\
... \\
x^{-m} = \frac 1 {(x + 1)(x + 2) ... (x + m)}, \space m > 0
\]
有了这个定义, 下降幂就得到了更多优良的性质:
\[x^{\underline{m + n}} = x^{\underline m}(x - m)^{\underline n}
\]
回到有限微积分中, 让我们来尝试计算\(\Delta x^{\underline{-2}}\)
\[\begin{aligned}
\Delta x^{-2} &= \frac 1 {(x + 2)(x + 3)} - \frac 1 {(x + 1)(x + 2)} \\
&= \frac{(x + 1) - (x + 3)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \\
&= -2x^{\underline{-3}}
\end{aligned}
\]
也就是说, 我们之前得到的结论对于\(m < 0\)的情况依旧适用.
调和数与二的次幂
我们考虑在无限微积分中, 有\(\int_a^b x^{-1}dx = \ln x|_a^b\)
那么在有限微积分中是什么情况呢?
\[\because x^{\underline{-1}} = \Delta f(x) \\
\therefore \frac{1}{x + 1} = \Delta f(x + 1) - f(x)
\]
当\(x\)为整数时, 不难看出
\[f(x) = \sum_{k = 1}^x \frac 1 k
\]
也就是之前提到过的调和数\(H_n\)
既然讲到了调和数\(H_n\), 那么也可以顺带提及\(2^n\)与\(e^x\)的关系:
\[D e^x = e^x \\
\Delta 2^x = 2^x
\]
就是这么奇妙.
分部积分法
尽管有限微积分和无限微积分有许多类似的地方, 某些连续的概念却并没有相似的离散概念. 比如说, 链式法则在有限微积分中是不成立的.
然而, \(\Delta(f(x)g(x))\)确实有比较好的形式, 并且对应的结论在有限微积分中也是成立的. 我们首先来看无限微积分中的情形:
\[D(uv) = u Dv + v Du
\]
我们对上式进行移项并积分, 得到
\[\int u Dv = uv - \int v Du
\]
这就是分布积分法则.
让我们来看离散的情况:
\[\begin{aligned}
\Delta(u(x)v(x)) &= u(x + 1)v(x + 1) - u(x)v(x) \\
&= u(x + 1) v(x + 1) - u(x) v(x + 1) + u(x) v(x + 1) - u(x) v(x) \\
&= [u(x + 1)v(x + 1) - u(x)v(x + 1)] + [u(x)v(x + 1) - u(x)v(x)] \\
&= v(x + 1)\Delta u(x) + u(x) \Delta v(x)
\end{aligned}
\]
注意到这里出现了\(v(x + 1)\)的形式, 不太方便, 因此我们引入位移算子\(E\). 我们用\(Ev(x)\)替换\(v(x + 1)\), 则有
\[\Delta(uv) = u \Delta v + Ev\Delta u
\]
我们对上面这个式子进行移项, 得到
\[u \Delta v = \delta (uv) - Ev \Delta u \\
\sum u \Delta v = uv - \sum Ev \Delta u
\]
也就是所谓的分部求和法.
这个法则在左边的和式比右边的和式更难处理时就能发挥作用了. 比如说下面这个例子:
\[\sum x2^x\delta x
\]
我们令\(u(x) = x\)且\(\Delta v(x) = 2^x\), 从而\(\Delta u(u) = 1\), \(v(x) = 2^x\). 代入得到
\[\sum x2^x \delta x = x2^x - \sum 2^{x + 1} \delta x = x2^x - 2^{x + 1} + C
\]
我们给它加上界限:
\[\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^n k2^k &= \sum_0^{n + 1}x2^x \delta x \\
&= ((n + 1)2^{n + 1} - 2^{n + 2}) - (0 \times 2^0 - 2^1) \\
&= (n + 1)2^{n + 1} + 2
\end{aligned}
\]
比原来的扰动法优美多了.
我们再看另一个例子: 求\(\sum_{0 \le k < n} kH_k\).
我们取\(u(x) = H_x\), \(\Delta v(x) = x\), 则\(\Delta u(x) = x^{\underline{-1}}\), \(v(x) = \frac{x^{\underline 2}} 2\), 则有
\[\begin{aligned}
\sum xH_x\delta x &= u(x)v(x) - \sum Ev(x) \Delta u(x) \\
&= \frac{x^2}2 H_x - \sum \frac{(x + 1)^{\underline{2}}}2 x^{\underline{-1}} \delta x \\
&= \frac{x^2} 2 H_x - \frac{2^{\underline{2}}} 4 + C \\
\end{aligned}
\]
因此
\[\sum_{0 \le k < n} kH_k = \frac{n^{\underline 2}}2(H_n - \frac 1 2)
\]
好了, 有限微积分的内容到这里就结束了.
