西北工业大学2021数学分析试题

西北工业大学 2021 年硕士研究生数学分析试题

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一. 解答如下问题:

1. 用 “ \(\varepsilon-\delta\) " 语言叙述函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处连续的定义, 并证明: \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}\) 在 \((0,1)\) 上连续.
2. 计算 \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x\).
3. 计算下列极限:
   (1) \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)\);
   (2) \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)\);
   (3) \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}\).

二. 设函数 \(f\) 是 \(U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)\) 上的有定义. 证明: \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在的充要条件是对于含于 \(U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)\) 且以 \(x_{0}\) 为 极限的数列 \(\left\{x_{n}\right\}\), 极限 \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)\) 都存在且相等.
三. 解答如下问题:

1. 设 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上连续, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) 存在, 证明: \(f(x)\), 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续.
2. 讨论 \(f(x)=\sin x^{\alpha}(\alpha>0)\) 在 \((0,1)\) 上的一致连续性.

四. 解答如下问题:

1. 讨论 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} n}{n^{p}}\) 的收敛性.
2. 求幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n}\) 的收敛域及和函数.
3. 设 \(f(x)\) 是以 \(2 \pi\) 为周期的函数, 且其二阶导数连续, 证明: \(f(x)\) 的傅里叶级数一致收敛.

五. 已知二元函数

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. \]

讨论 \(f(x, y)\) 在 \((0,0)\) 处的连续性、可微性以及其偏导数的连续性.
六. 解答如下问题:

1. 讨论反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p} \ln ^{q} x} \mathrm{~d} x\) 的收敛性.
2. 求积分 \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)\).
3. 求曲面 \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 与 \(x^{2}+y^{2}=2 z\) 所围图形的体积.

七. 已知函数列 \(f_{n}(x)=(1-x) x^{n}\).

1. 证明: 函数列 \(f_{n}(x)\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛.
2. 证明: 函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)\) 在 \([0,1]\) 上收敛, 但不一致收敛.
3. 证明: 函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛.