【游戏杂谈】（二）游戏开发

 一. 客户端

1. 3D数学基础

1.1 向量代数

• 向量是具有大小和方向的物理量
  • 可以用于表示空间中的点（坐标位置）， 也可以表示力、位移和速度，还可以用来表示单个方向
  • 一个 n 维向量可以表示为： V = < v1,v2,...,vn >
• 向量的叉积
  • 区别与向量的点积计算结果是一个标量，差积计算结果是一个向量
  • 叉积只能用于 3D 向量（ 2D 向量没有叉积）
  • 叉积计算公式：A * B = < AyBz - AzBx , AzBx - AxBz , AxBy - AyBx >
    • 计算两个 3D 向量 A，B 的叉积，可以得到同时垂直于 A，B 向量的第三个向量
    • 可以应用在计算机图形学中：给定平面上的一个点，及两个不同的切向量，可以计算出该点的法向量

      

       

  • 叉积对应的几何意义：|| P * Q|| = || P || || Q || Sina
    • 该公式可以用于计算由 P 和 Q 组成的平行四边形或三角形的面积：平行四边形以 ||Q|| 为底，||P||Sina 为高，则面积为||P|| ||Q||Sina，等于两个向量叉积的模||P*Q||，而对应三角形ABD的面积为 ||P*Q|| / 2 

      

       

• 点
  • 每个向量空间都可以通过一组向量的线性和得到，这组向量叫做该向量空间的基向量。如3D游戏编程中，组成空间（空间直角坐标系）的三个基向量分别是：（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）
  • 使用向量来表示点的好处是，可以在代码中使用向量进行运算

    

     

 

 1.2 矩阵代数

•  一个 m×n 矩阵，是一个 m 行 n 列的矩形实数数组。其中，行和列的数量指定了矩阵的维数，矩阵中的数值称为元素。我们使用 ij 来标识第 i 行和第 j 列的矩阵元素，当 m=n 时，称矩阵为方阵
• 假如是一个 4×3 的矩阵 F，如下：可以将矩阵的每一行视为一个向量。

  

   

• 同理，也可以将矩阵的每一列视为一个向量

  

   

• 矩阵具有诸多属性和运算，如标量乘法，矩阵加减法，矩阵乘法，单位矩阵，转置矩阵，逆矩阵和行列式等，可自行参考相应书籍资料

  

 

 1.3 变换

• 线性变换
  • 假定一个3D坐标系C，包含一个原点和三条坐标轴，其中有一个点Ｐ，表示为<x，y，z>，则 x，y，z 可以理解为从原点出发到点Ｐ；
  • 再假定一个3D坐标系C`，其中的点<x`，y`，z`>可以通过对C中的坐标进行线性变换得到，变换函数如下公式所示：

    

  • 假定 T=0，C的坐标轴基向量为：i=<1,0,0>，j=<0,1,0>，k=<0,0,1>
  • ① 缩放
    • 当一个系数 a 对向量P进行缩放变换时，变换公式：C` = aP
    • 在3D空间中，也可以写成矩阵乘法的形式：

      

    • 非等比缩放（矩阵的对角元素不相等）

      

    • 同时，通过上面的公式可以用逆矩阵的方式，将点Ｐ`还原为初始点Ｐ

      

  • ② 旋转
    • 将向量P绕轴A旋转a角度，且假设 ||A||=1，则可以将向量Ｐ分解为分别平行与垂直Ａ的２个分向量。

    •  其中，(Ａ·P)A 向量不受旋转影响，此问题的解答可以简化为先将 P-(A·P)A 垂直分量绕 A 轴旋转后，加上保持不变的平行分量即可

    • 垂直分量绕 A 轴的旋转发生在垂直于 A 的平面，因此我们需要建立一个位于该旋转平面的2D坐标系，将垂直分量作为其中一个基向量，第二个基向量需要同时垂直于旋转轴 A 和垂直分量。设 a 为向量 P 和 A 的夹角，通过向量叉积 A x P，可以计算出一条同时垂直于 A 和 P 的向量，得到垂直分量旋转变换后的表示：(P-(A·P)A)cos a + (AxP)sin a
    • 特别说明，cos a 和 sin a 分别表示垂直分量经过 a 角度旋转后，在我们构造的2D坐标系中基向量上的投影长度，如图：

      

    • 加入平行分量，得到旋转后的向量：P`=Pcos a + (AxP)sin a + A(A·P)(1 - cos a)

    • 将公式中的叉积和点积替换为对应的公式后，得到如下矩阵运算形式：

      

  • ③ 平移
    • 平移不会影响坐标系的坐标轴，只需要简单的加上一个偏移向量，没有办法写成一个3×3的矩阵形式

 

•  齐次坐标系统
  • 如果需要将点 P 从一个坐标系变换到另一个坐标系中，同时考虑到多次缩放，旋转和平移，可以用齐次坐标系来表达向量，并使用一个4×4矩阵对其进行变换。
  • 在齐次坐标系中，坐标点 P 被扩展为一个四维向量<x,y,z,w>，其中 w=1，将变换矩阵Ｍ和平行向量Ｔ合并成一个4×4的矩阵Ｆ：

    

  • 若要将点Ｐ从齐次坐标系转换为原3D坐标系中，则使用公式：Ｐ＝<x/ｗ，y/ｗ，z/ｗ>
    • 其中ｗ不为0，对于坐标点来说，经过缩放，旋转，平移等线性变化后，实际上ｗ保持１不变，而对于一些非线性变化（如投影变换等）会改变w的值
    • 如果仍想使用4×4矩阵对方向进行变换操作，只需要使用<x,y,z,０>来表示齐次坐标系中的方向向量，这样矩阵中只有左上角3×3子矩阵 M 对计算结果有影响
  • 在齐次坐标系中做向量运算，不会破坏坐标点和方向向量的定义。如 P` = P+V 表示点 P 沿方向向量 V 平移，得到一个新的点 P`，平移前后Pw =  P` = 1；V ///=  P` - P，表示点 P 指向点 P`的方向向量，Vw = 1

 

•  组合变换
  • 假设需要对一个立方体进行多次线性变化（旋转R，缩放S，平移T），根据矩阵运算的结合律，可以得到更高性能的组合变换公式：Pi` = (RST)Pi，i=0,1,...,7

 

•  欧拉角
  • 前文都是使用矩阵来表示旋转变化，虽然矩阵是一种比较适合计算机处理的表达形式，但缺点也比较明显：不支持直接插值，比较占用存储空间，人为阅读不直观等。除了旋转矩阵外，我们也可以使用欧拉角的形式来表达旋转变换
  • 欧拉角：就是模型绕坐标系三个坐标轴的旋转角度，模型的任意旋转都可以分解为欧拉角的形式，且分解结果不唯一
    • 给定三个欧拉旋转角度( α , β , γ ) (\alpha,\beta,\gamma)(α,β,γ) 和 Z-X-Y顺序(蓝色坐标轴-上Z、左X、右Y)

      

      

    • 优点

      • 表述清晰易懂，可读性强，利于理解
    • 缺点
      • 万向节死锁：动态欧拉角有万向节死锁问题（第二个轴的旋转为 ±90°）。死锁会导致第一次旋转和第三次旋转等价，整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转，丢失了一个表示维度
      • 不明确问题：三维空间中的任意一个方向都可以通过至少两种不同欧拉角表示，而在没有其他条件的约束的情况下，我们并不确定此时哪一种欧拉角的表述更为合理。例如：物体的原始方向(0,0,0)也可以用( 2 / 3 π , 0 , − 2 / 3 π ) (2/3\pi,0,-2/3\pi)(2/3π,0,−2/3π)来表示（由于此时 β \betaβ 是0,所以只要 α \alphaα 和 γ \gammaγ 的和为0，都可以表示出这个方向）
      • 数据存储问题：通过旋转矩阵的表达式，记录这样一个变换，至少需要计算三个角的sin和cos值，也就是一共存储6个单位数据，对比四元数要多得多
  • 由此而引入了另一种常见旋转变换形式：四元数

 

• 四元数
  • 相较于旋转矩阵，四元数有诸多优点：占用更小的存储空间、多次旋转变换连接需要更少的算术运算量、支持球形插值更有利于产生平滑的动画效果等
  • 回忆一下高中时学的复数（一个复数由实部和虚部组成，即 x = a+bi，i 是虚数单位，且i平方等于-1）
  • 四元数与复数类似，是简单的超复数，其所在空间是一个四维空间（相较于复数的二维空间），它的虚部包含了三个虚数单位<i，j，k>
    • 一个四元数 q 可以表示为：q = <w，x，y，z> = w + xi + yj + zk
    • 通常还可以将四元数写为更简单的形式：q = s + v（其中，s表示四元数中的标量部分，也即是w；v表示向量部分<x,y,z>）
    • 如果给定一个单位长度的旋转轴 <x,y,z> 和一个角度 a ，则对应的四元数为：q = ((x,y,z)sin a/2 , cos a/2)

 

 

 

 

 

 1.4 几何对象

 

 

 

 

 

 1.5 光照和绘制

 

 

 

 

 

 

 2. 图形渲染

2.1 渲染管线

 

 

 

 

 2.2 光照

 

 

 

 

 

 

2.3 次世代渲染基础

 

 

 

3. 物理

 

 

 

 

 

 

4. 游戏中的动画系统

 

 

 

 

5. 特效

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. 音频

 

 

 

 

 

 

 

 

 

未完待续...