数据结构与算法分析 - 网络流入门(Network Flow)

转载:网络流基础篇——Edmond-Karp算法             BY纳米黑客

网络流的相关定义:

  • 源点:有n个点,有m条有向边,有一个点很特殊,只出不进,叫做源点
  • 汇点:另一个点也很特殊,只进不出,叫做汇点
  • 容量和流量:每条有向边上有两个量,容量和流量,从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].

通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。

  • 最大流:把源点比作工厂的话,问题就是求从工厂最大可以发出多少货物,是不至于超过道路的容量限制,也就是,最大流

网络流基础篇——Edmond-Karp算法

求解思路:

首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流

一个最简单的例子就是,零流,即所有的流量都是0的流。

  • (1).我们就从这个零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点,并且,这条路上的每一段都满足流量<容量,注意,是严格的<,而不是<=。
  • (2).那么,我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta,一定可以保证这个流依然是可行流,这是显然的。
  • (3).这样我们就得到了一个更大的流,他的流量是之前的流量+delta,而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到源点和汇点不连通,也就是找不到增广路为止。
  • (4).当找不到增广路的时候,当前的流量就是最大流,这个结论非常重要。

补充:

  • (1).寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS,并不断修改这条路上的delta 量,直到找到源点或者找不到增广路。
  • (2).在程序实现的时候,我们通常只是用一个c 数组来记录容量,而不记录流量,当流量+delta 的时候,我们可以通过容量-delta 来实现,以方便程序的实现。

 

相关问题:

为什么要增加反向边?

在做增广路时可能会阻塞后面的增广路,或者说,做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。

但我们是任意找的,为了修正,就每次将流量加在了反向弧上,让后面的流能够进行自我调整。

举例:

比如说下面这个网络流模型

3

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。

于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)

4

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。

但是,

这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢

问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。

那么如何解决这个问题呢

我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的:

在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。

           c[x,y]-=delta;
           c[y,x]+=delta;


我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下:

1

这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。

2

那么,这么做为什么会是对的呢?

事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。

如果这里没有2-4怎么办?

这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点

同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流。

 

附录:(edmonds-Karp版本)

   1:  void update_residual_network(int u,int flow){                                             
   2:      while(pre[u]!=-1){
   3:          map[pre[u]][u]-=flow;                   
   4:          map[u][pre[u]]+=flow;                  
   5:          u=pre[u];
   6:      }
   7:  }
   8:  int find_path_bfs(int s,int t){
   9:      memset(visited,0,sizeof(visited)); 
  10:      memset(pre,-1,sizeof(pre));
  11:      visited[s]=1;
  12:      int min=INF;
  13:      queue<int> q;
  14:      q.push(s);
  15:   
  16:      while(!q.empty()){
  17:          int cur=q.front();q.pop();
  18:          if(cur==t)   break;  
  19:   
  20:          for(int  i = 1 ; i <= m ; i++ ){
  21:              if( visited[i] == 0 && map[cur][i] != 0){
  22:                  q.push(i);
  23:                  min=(min<map[cur][i]?min:map[cur][i]) ;
  24:                  pre[i]=cur;
  25:                  visited[i]=1;
  26:              }
  27:          }
  28:      }
  29:      if(pre[t]==-1) return 0;
  30:      
  31:      return min;
  32:  }
  33:  int edmonds_karp(int s,int t){
  34:      int new_flow=0;
  35:      int max_flow=0;
  36:      do{
  37:          new_flow = find_path_bfs(s,t);
  38:          update_residual_network(t,new_flow);
  39:          max_flow += new_flow;
  40:      }while( new_flow != 0 );
  41:      return max_flow;
  42:  }
posted @ 2014-03-29 14:53  姜楠  阅读(25681)  评论(6编辑  收藏