#7 2023.12.4
419. arc137c Distinct Numbers
注意到如果 \(a_{n-1 } + 1 \neq a_{n}\)，显然是先手必胜的。
然后一个人显然不会主动走到这个状态，于是 \([0,a_n]\) 之内的每个数都要被遍历一遍。于是答案就和 \(n - a_n\) 的奇偶性有关了。
420. arc137d Prefix XORs
大概只跟 \(n-i\) 和 \(j\) 的 and 有关。fmt 一下就做完了。
421. arc137e Bakery
怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。
大概就是假装全都选，然后是区间覆盖模型！
422. arc136c Circular Addition
423. arc136d Without Carry
424. arc136e Non-coprime DAG
425. arc136f Flip Cells
大概是设 \(F\) 表示答案的 PGF，\(G\) 表示从终止态开始到终止态的 PGF，\(H\) 表示从起始态开始到终止态的 PGF。显然 \(H = FG\)，答案是 \(F'(1)\)。所以只需要求出 \(G(1),H(1),G'(1),H'(1)\) 即可。
大概可以通过奇技淫巧搞出式子，要注意上述几个值是否都有意义。如果不是，就同乘点东西让它有意义，然后暴力推式子就草过去了。感觉很牛！
426. arc135d Add to Square
427. arc135e Sequence of Multiples
序列可以贪心。令 \(b_i = {a_i \over i}\)，则 \(b_i - b_{i-1}\) 只有 \(O(\sqrt[3]{n})\) 种。找连续段需要奇技淫巧，每个连续段可以 \(O(1)\) 算。
428. loj3636 「2021 集训队互测」机器
直接费用流对偶，发现形式很好看。
大概是要求一个 \(\sum f(x_i)\)，然后 \(x_u \leq x_v\) 之类的。盲猜他能套上保序回归之类的东西，那就做完了。证明不看了（我连保序回归的证明都没看，怎么会看这个呢 2333）。
429. loj3637 「2021 集训队互测」数列重排
430. arc135f Delete 1, 4, 7, ...
431. arc134e Modulo Nim
史。
大概是先通过神秘分析/打表，发现必败态长成同一个样子，并且有些小的状态是特例。并且很巧的是必败态的样子很好看，可以当场状压。然后暴力统计，做完了。
432. arc133d Range XOR
相当于 \(s_{l-1} \oplus s_r = V\)。枚举 \(i\) 的后两位，发现 \(s_i\) 是能算的。
容斥一下之后数位 dp 即可。
433. arc133e Cyclic Medians
大概可以发现很多情况是对称的，把和 A 有关的东西拉出来，发现每个模 gcd 相等的位置有性质。
434. arc133f Random Transition
看作 \(n\) 个硬币，大概是把每一位的贡献搞出来，变成一个二元 GF。暴力化简 GF 的式子，最后得到若干个形态很好看的式子，提取一下，然后发现可以直接分治 NTT 之类的做。
推式子过程和 arc136f 似乎差不多，感觉不难，所以不管了。
435. arc132d Between Two Binary Strings
436. arc132f Takahashi The Strongest
把字母看作 1,2,3。构造串 \(M(i,j)\)，如果 \(a_{i,d} = b_{j,d}\)，\(M(i,j)_d = a_{i,d}\)。否则 \(M(i,j) _d = 0\)。定义 0 是 1,2,3 的子集，1,2,3 互不包含。
我们想要对每个串 \(S\) 求出答案，等价于对串 \(T\) 求出所有 \((i,j)\) 的个数，满足 \(T\) 和 \(M(i,j)\) 至少一位相同，其中 \(T\) 是每把都被 \(S\) 击败的字符串。
设 \(cnt_S\) 表示 \(\sum\limits _{i,j} [M(i,j) = S]\)。发现变换矩阵是
那逆矩阵就是
直接高维前缀和即可。
求出 \(cnt_S\) 之后再做一次高维前缀和即可得到答案。
437. arc131d AtArcher
显然箭的间隔一定是 \(d\)，所以 \([0,d)\) 的范围内一定有一枝箭。把这支箭从 \(0\) 到 \(d\) 移动，会有 \(O(m)\) 个贡献变化时刻。暴力扫就行了。
438. arc131e Christmas Wreath
厉害题。不妨令所有 \((i,j)，i < j\) 的边权都为点 \(j\) 的权值。这样每个三角形一定合法。问题转化为将 \([1,n-1]\) 分割成三个集合，使得每个集合的和相等。可以手摸出 \(n = 6,7,9,10\) 的解，后面可以用 \(n - 6\) 的方案递归构造。
439. arc131f ARC Stamp
考虑用问号把整个串塞满，那就把串用 ARC,AR,A,RC,C,R 贪心划分。每次一定是填满一整段。为了划分区域，要在相邻两个 ARC 中间塞一个 X。
之后就是 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示自己这一位和下一位的选择状态。
440. arc130d Zigzag Tree
大概看看每个点是比旁边大还是比旁边小，然后就 \(dp_{u,i,0/1}\) 就可以了。
441. arc130e Increasing Minimum
考虑按照 \(v\) 把序列分段。
记 \(f_i\) 表示 \(i\) 恰为某段结尾的最小层数。\(i\) 的前驱不超过 1 个。算答案时挑一个合法 \(i\) 里 \(f_i\) 最小的最靠后的 \(i\) 即可。
442. arc130f Replace by Average
443. xsy5071 基
444. xsy5072 泥
445. arc129d -1+2-1
设 \(x_i\) 是 \(i\) 的操作次数。发现 \((x_{i} - x_{i-1}) - (x_{i+1} - x_i) = - a_i\) 之类的神奇东西。然后可以求出 \((x_i - x_{i-1})\)。然后解出 \(x_0\) 就行了。
446. arc129e Yet Another Minimization
典中典切糕题。不管了。
447. ctt2023 不知道哪个题
建出两个序列的括号树。操作相当于删掉一个点，然后它的儿子成为它的兄弟。
记 \(mat_{u,v}\) 表示 \(a\) 的点 \(u\) 能否匹配 \(b\) 的点 \(v\)。要么是 \(mat_{son,v}\)，要么是 \(u\) 的每个儿子贪心匹配 \(v\) 的每个儿子。
448. arc129f Let's Play Tag
先要搞清楚题解里那个奇怪式子是怎么来的。记第 \(i\) 次调头时遇到的人的初始位置的绝对值为 \(a_i\)，抓到这个人的时间为 \(t_i\)。
在抓到 \(i-1\) 时，第 \(i-1\) 个人位置的绝对值是 \(a_{i-1} + t_{i-1}\)，第 \(i\) 个人位置的绝对值是 \(a_{i} + t_{i-1}\)，所以 \(t_i = t_{i-1} + (t_{i-1} + a_{i-1}) + (t_{i-1} + a_i) = 3t_{i-1} + a_{i-1} + a_{i}\)，那就得到了题解里奇怪的贡献式子了。
得到式子之后就可以奇技淫巧算贡献了（？不管了。
449. arc128d Neq Neq
\(f_i \leftarrow f_j ok(i,j)\)，\(ok(i,j)\) 是能不能把 \([i,j]\) 区间删成 \(\{i,j\}\)。
\(j-i+1 \leq 3\) 的情况特判，其他情况下，\(ok(i,j)\) 等价于 \([i,j]\) 里至少有三种数，并且没有连续两#个相同的数。
450. arc128e K Different Values
判无解是容易的。大概就是每一位挑能放或者一定要放的集合里最小的一个。
451. arc128f Game against Robot
考虑一个 \(p\) 怎么搞！把序列按照 \(p\) 从小到大排序，然后不断塞序列的前两个数进一个 set，然后把 set 里最大的数拿出来扔给 snuke。
01 分段，数一下扔出来的 0，发现相当于二维走路，右上右下 coef = 1，右 coef = 2。强制把 \(y<0\) 的地方改到 \(y = 0\)，数这个的个数。发现就相当于没有这个限制，路径最低点的绝对值。然后可以用卡特兰数的方法数出方案，加起来是个奇异式子，瞎搞搞可以前缀和。
