[NOI2016]循环之美

题解

神仙。

考虑这个循环小数的循环节为\(l\)。

那么有

\[\frac{x}{y}-\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor=\frac{xk^l}{y}-\left\lfloor\dfrac{xk^l}{y}\right\rfloor \]

\[x-\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor*y=xk^l-\left\lfloor\dfrac{xk^l}{y}\right\rfloor*y \]

\[x=xk^l\ mod \ y \]

\[k^l=1 \ mod\ y \]

根据数论知识可得\((k,y)==1\)。

然后我们设\(f(n,m,k)\)表示答案。

\[f(n,m,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [(i,j)==1][(j,k)==1] \]

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)==1]\sum_{d|(j,k)}\mu(d) \]

\[\sum_{i=1}^n\sum_{jd=1}^m[(i,jd)==1]\sum_{d|k}\mu(d) \]

\[\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}(i,jd)==1 \]

\[\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[(i,j)==1][(i,d)==1] \]

\[\sum_{d|k}\mu(d)f(\frac{m}{d},n,d) \]

然后就可以做了。

注意边界：\(m\)或n为\(0\)时值为\(0\)，当\(d=1\)的时候就除法分块一下。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 6000009
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=6000000;
vector<int>vec[2002];
bool vis[N];
int prime[N],mu[N],n,m,k;
inline ll rd(){
  ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
  return f?-x:x;
}
struct node{
  int n,m,k;
  inline bool operator <(const node &b)const{
    if(n!=b.n)return n<b.n;
    if(m!=b.m)return m<b.m;
    if(k!=b.k)return k<b.k;
  }
};
map<node,ll>mp;
map<int,int>rec;
inline void prework(int n){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i){
    if(!vis[i]){prime[++prime[0]]=i;mu[i]=-1;}
    for(int j=1;j<=prime[0]&&(i*prime[j])<=maxn;++j){
      vis[i*prime[j]]=1;
      if(i%prime[j]==0){
         mu[i*prime[j]]=0;
         break;
      }
      mu[i*prime[j]]=-mu[i];
    }
  }
  for(int i=1;i<=n;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
inline int getsum(int n){
  if(n<=maxn)return mu[n];
  if(rec.find(n)!=rec.end())return rec[n];
  int ans=1;ll r=0;
  for(int l=2;l<=n;l=r+1){
    r=n/(n/l);
    ans-=(r-l+1)*getsum(n/l);
  }
  return rec[n]=ans;
}
inline ll work(int n,int m,int k){
  if(!n||!m)return 0;
  node x=node{n,m,k};
  if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
  ll ans=0;
  if(k==1){
    ll r=0;int x=min(n,m);
    for(ll l=1;l<=x;l=r+1){
      r=min(n/(n/l),m/(m/l));
      ans+=1ll*(getsum(r)-getsum(l-1))*(n/l)*(m/l);
    }
  }
  else{
    for(vector<int>::iterator it=vec[k].begin();it!=vec[k].end();++it){
      int v=*it;
      ans+=work(m/v,n,v)*(mu[v]-mu[v-1]);
      if(v>m)break;
    }
  }
  return mp[x]=ans;
}
int main(){
  n=rd();m=rd();k=rd();
  prework(maxn);
  for(int i=1;i<=k;++i)if(mu[i]-mu[i-1]!=0){
    int x=i;
    while(x<=k){
      vec[x].push_back(i);
      x+=i;
    }
  }
  printf("%lld",work(n,m,k));
  return 0;
}