BZOJ2839集合计数

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得
它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)
题解
假设我们已经确定了这k个元素都是谁,最后再乘上C(n,k)就可以了。
根据容斥原理(二项式反演)可知,答案为选出至少k个的方案数-选出至少k+1个的方案数+选出至少k+2个的方案数。。。
如何求选出至少x个的方案数,考虑有多少种集合包含x个元素,答案是2n-x(相当于我们已经确定了x个元素)。
他们中每个集合都可以选或不选,但是不能都不选。
所以是2r-1,r是刚才那个2n-x
最后因为我们固定了k个,有x-k个没有固定,再乘上C(n-k,x-k)
注意指数要%mod-1
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1000009
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll inv[N],jie[N],ni[N],n,k,ans;
inline ll power(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=ans*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ans;
}
inline ll C(int n,int m){
    return jie[n]*ni[m]%mod*ni[n-m]%mod;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)inv[i]=inv[i-1]*2%(mod-1);
    jie[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jie[i]=jie[i-1]*i%mod;ni[n]=power(jie[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=k;i<=n;++i){
         if((i-k)&1)ans-=C(n-k,i-k)*(power(2,inv[n-i])-1)%mod;
         else ans+=C(n-k,i-k)*(power(2,inv[n-i])-1)%mod;
         ans=(ans%mod+mod)%mod;
    }
    ans=ans*C(n,k)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}
posted @ 2019-01-16 17:31  comld  阅读(164)  评论(0编辑  收藏  举报