2025年10月 杭州集训记

由于神秘原因，从 10.10 开始记录模拟赛和题目。
注：

• 考虑到大片代码可能影响阅读体验，会将代码整合。
• 不会的或是待补的以 * 标注。

10.10 模拟赛

\(50+90+0+0=140\)，rank 11/12。勉强逃离倒一。
目测难度：绿/蓝-绿-蓝-紫。

A 凯旋而归

给定长度为 的序列 ，对于 \(a\) 的每一个前缀 \(\{a_1,a_2,\dots,a_i\}\)，求 \(\max_j\{(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_j)+(a_{j+1}\oplus a_{j+2}\oplus\dots\oplus a_i)\}\)。其中 \(\oplus\) 为异或。
\(n\le 456789,a_i\le 10^6\)。

题外话：本题在赛时数据范围误标为了 \(a_i\le 10^9\)，导致全员喜提暴力分。询问 lxl 时得到了“我不会”的回答。
令 \(s_i\) 为前缀异或和。则要求的即 \(s_j+(s_i\oplus s_j)\) 的最大值。拆位，若 \(s_i\) 该位为 \(1\)，则不论 \(s_j\) 选什么都会固定产生 \(1\) 的贡献；若 \(s_i\) 该位为 \(0\)，则只有 \(s_j\) 的 该位也为 \(1\) 时才会产生 \(2\) 的贡献，否则没有贡献。这里我的做法选择将 \(s_i\) 取反，记其为 \(r\)，所求即 \(\max\{2\times(s_j\operatorname{and}r)\}+s_i\)。
到这里就变成了一个经典问题了，设 \(f_i\) 表示最小的 \(j\) 使得 \(i\operatorname{and}s_j=i\)。查询的时候从最高位贪心走下去就行了。

B math

给定 \(m\) 个大小分别为 \(n_i\) 的可重集，\(q\) 次询问，每次询问两个下标代表的集合 \(A,B\)，求：

\[\sum_{x\in A,y\in B}[x\le y] \]

\(m,\sum n_i,q\le2\times 10^5\)。

诈骗题，这里先给做法。根号分治，设阈值 \(B=\sqrt m\)，若两个集合的大小同时大于等于或同时小于等于 \(B\)，直接双指针扫，否则枚举小的那个集合的每个数，二分找出另一个集合有多少数满足条件。还要加上记忆化。
下面默认 \(n,q\) 同阶。
证明：双指针的复杂度是 \(O(|A|+|B|)\)，对于 \(|A|,|B|\le\sqrt n\)，暴力扫的复杂度不超过 \(O(n\sqrt n)\)；对于 \(|A|,|B|\ge\sqrt n\)，这样的集合不超过 \(\sqrt n\) 个，两两询问最多只有 \(n\) 次，总复杂度也是 \(O(n\sqrt n)\)。最后一种的复杂度就是 \(O(n\sqrt n\log n)\) 的。
综上，时间复杂度 \(O(n\sqrt n\log n)\)，非常极限，刚好卡到了 \(996\operatorname{ms}\)，把块长调到 \(300\) 可以到 \(900\operatorname{ms}\) 以下。
题解的一种离线做法可以做到严格单根号不带 \(\log\)。

C 生成树

给定一张联通无向图，求出所有生成树中，以 \(1\) 为根的情况下所有节点的深度之和的最大值。
\(n\le 20,m\le\frac{n\times(n-1)}{2}\)。

观察到一个重要事实，对于最优的生成树，所有非树边都是返祖边，否则可以选择横叉边，并断开一条树边（连接深度较小的点与其父亲的边），使答案不减。
考虑状压，令 \(f_{S,u}\) 表示已选集合和当前根分别为 \(S\) 和 \(u\) 时的答案。则树根的每一棵子树都是可以唯一确定的，即对应儿子的 DFS 生成树。转移如下：$$f_{S,u}​=1+\max{f_{T_1,v_1}​​+f_{S\textbackslash T_1​,u​}+|T_1​|-1}$$

D coffee*

？？？

10.11 模拟赛

\(100+100+25+5=230\)，rank 6/13。目前排名最高的一次。
目测难度：绿-黄/绿-蓝-黑。

A 十二桥问题

给一张带权无向图，有 \(k\) 条关键边，求从点 \(1\) 出发，经过所有关键边最终回到 \(1\) 的最短路径。
\(n\le 5\times 10^4,m\le 2\times 10^5,k\le 12\)。

水，裸的状压。预处理最多 \(2k+1\) 个关键边的端点和 \(1\) 的最短路，直接状压即可。
时间复杂度 \(O(km\log m+k^22^k)\)。

B sequence

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，初始全为 \(0\)，每次修改给定参数 \(l,r,k\)，对于 \(l\le i\le r\)，令 \(a_i\gets a_i+\binom{i-l+k}{k}\)，全部修改完后输出序列。
\(n,q\le 5\times 10^5,k\le 20\)。

诈骗题。观察到 \(k\le 20\)，且不需要修改时回答询问，把每个 \(k\) 的前几项贡献打表出来就可以发现贡献就是 \(k\) 维差分。严格证明可以用递推式，这里略。
时间复杂度 \(O(nk)\)，听说还可以用多项式相关做到 \(O(n\log n)\)，神秘。

C ATM的最小和

一张 \(n\) 个点的完全图，点有点权 \(a_i\)，两点 \(u,v\) 间的边权为 \(\max(a_u,a_v)\mod\min(a_u,a_v)\)，求图的 MST。
\(n,a_i\le 5\times 10^5\)。

由于边数太大，考虑保留有限的边。先给数列去重，显然不影响答案。令连边都是从小到大连，从小到大考虑，对于每一个 \(a_i\)，只考虑在 MST 中 \(i\) 对后面的连边，根据后面的 \(\left\lfloor\frac{a_j}{a_i}\right\rfloor\) 分成几个连续块，如对于 \(3,4,6,7,8,10,11\)，在处理 \(3\) 时划分为 \([4],[6,7,8],[10,11]\)，在连边时只需要连每个段的第一个即可，即 \(3\to 4,3\to 6,3\to 10\)。
然而，为什么我们可以省略 \(i\) 到其它位置的边？
注意到对于 \(a<b<c\) 且 \(\left\lfloor\frac{b}{a}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{c}{a}\right\rfloor\)，有 \(b\mod a+c\mod b=c\mod a\)，即 \(b\to c\) 可以被等效替代（\(b\to c\) 后面也会建立）。至于等式的证明，可以画图看出，这里贴一个来自 Deepseek-V3.2 的严谨证明：

对于 \(0 < a < b < c\) 且 \(\left\lfloor \frac{b}{a} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{c}{a} \right\rfloor\)，设 \(k = \left\lfloor \frac{b}{a} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{c}{a} \right\rfloor\)，则 \(b = k a + r_b\) 和 \(c = k a + r_c\)，其中 \(0 \leq r_b < a\) 和 \(0 \leq r_c < a\)。由于 \(b < c\)，有 \(r_b < r_c\)。
计算 \(c \mod b\)：由于 \(c < (k+1)a\) 和 \(b \geq k a\)，有 \(c < b + a\)。又因为 \(a < b\)，所以 \(c < 2b\)，因此 \(\left\lfloor \frac{c}{b} \right\rfloor = 1\)，从而 \(c \mod b = c - b\)。
代入得：\(b \mod a + c \mod b = r_b + (c - b) = r_b + (k a + r_c - k a - r_b) = r_c = c \mod a.\)
因此，等式 \(b \mod a + c \mod b = c \mod a\) 成立。

对于 \(a_i\)，最多只有 \(\frac{V}{a_i}\) 个连续块（\(V\) 是值域），所以边数是调和级数复杂度 \(O(n\ln n)\)（认为 \(n,V\) 同阶）。
总时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

D 练功*

？？？

10.12 分块杂谈

没啥好题，摆了不写了。
好多 云南OI Ynoi 大分块，与其中一题搏斗了接近 1h。
贴题单吧（做了的）。

1. P2801 教主的魔法 基础分块
2. P5356 [Ynoi Easy Round 2017] 由乃打扑克 比较温和的 Ynoi 分块
3. P4168 [Violet] 蒲公英 预处理型分块
4. P6177 Count on a tree II/【模板】树分块 树分块，只会随机撒点
5. P5906 【模板】回滚莫队&不删除莫队 回滚莫队
6. 一些基础莫队习题，早就做过了，省略。

10.14 模拟赛

欸今天怎么变回省选难度了 QwQ。
\(95+0+40+0=135\)，rank 16/16，熟悉的垫底又回来辣！
最后 50 min 的时候才写完 T2 100 行的 DP，结果没来得及调又跑去写 T3 40 分暴力，决策有点失败，相当于 T2 白干。
目测难度：黄-蓝-绿/蓝-紫。
BCD 都是爽赤题，锻炼代码能力。

A Doctor

给定一棵树，找一条从点 \(1\) 出发的路径（可以不是简单路径），经过恰好 \(k\) 个不同点，最小化路径长度并输出方案。
\(k\le n\le 10^5\)。

签到题，选 \(1\) 到最深的点的链，不够的话加上任意子树即可。
挂分原因：在 reverse 数列的时候写了 i<=ans.size()/2-1，当 size 为 \(1\) 时会炸成极大值。

B Patriot

给定 \(m\) 个集合 \(S_1, S_2, \dots, S_m\)，计数长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\) 的个数，使得对于任意 \(1\le a_i\le r_i\)，由 \(a\) 导出的长度为 \(m\) 的序列 \(b_i=\bigoplus_{j\in S_i}a_j\) 是一个不降序列（定义空集的 \(b_i\) 为 \(0\)），其中 \(\oplus\) 表示异或运算，答案对 \(998244353\) 取模。
\(n,m\le 7,r_i\le 2^{500}-1\)。保证数据随机生成。\(2000\operatorname{ms}\)。

数位 DP 好题。仿照数位 DP 设计状态的思路，设 \(f_{i,S,T}\) 表示在第 \(i\) 位，每个 \(i\) 是否已经确定 \(b_i<b_{i+1}\)，每个 \(j\) 是否已经确定 \(a_j<r_j\)。转移就枚举这一位填的数是多少，可以预处理每个数的结果，这样就做完了。
时间复杂度 \(O(n2^{3n}\log r)\)，这里认为 \(n,m\) 同阶。虽然看起来到了 \(7\times 10^9\) 很悬，但在随机数据下跑到了 \(1000\operatorname{ms}\) 左右。

C 路径阻挡

给定 \(n\times m\) 的网格，某些格子上已经有了一些障碍，只能向下或向右走，求在格子上额外放置 \(T\in \{1,2\}\) 个障碍，使得左上角不能到达右下角的方案数。
\(n,m\le 5000\)。
原题 QOJ 833，IOI 2026 集训队作业。

考虑做两条路线 \(X,Y\)，前者是优先向下，即最靠右下的路线，后者是优先向右，即最靠右上的路线。它们都能 DP 后简单求出。考虑它们的交，交点个数即为第一问的答案。
再考虑第二问，分为两种答案，一种是至少有一个在 \(X,Y\) 的交上的，另一种是两个都不在的。第一种很好求。下面讨论第二种答案。
显然 \(X\) 上至少要有一个障碍，考虑枚举它，在放了这个障碍的新图上，问题等价于第一问。\(Y\) 不变，但是不可能重新跑一遍 \(O(nm)\) 的 DP，考虑新的 \(X'\) 的性质。注意到在一条对角线（定义为 \(i+j\) 相等的集合）上，任何路径都会经过恰好一次。则在障碍点的这条对角线的右上部分，第一个满足条件的点就是 \(X'\) 经过的。找到这个点就可以直接找 \(X'\) 与 \(Y\) 的交了，注意不要与情况一算重。
路径长度是 \(n+m\)，故时间复杂度 \(O((n+m)^2)\)。实现时建议使用多模数。

D 货币*

？？？