QOJ 5039 Black and White 题解

链接 。

---

一个白格的权值定义为 \(1\) ，黑格定义为 \(-1\) 。题目所求相当于路径左上角所有格子权值和 \(=k\) 方案数。

首先把左上角改成右下角。所带来的影响是 \(k\leftarrow S-k\) ，其中 \(S\) 为所有格子的权值和。容易发现 \(S=(n\bmod 2)\times (m\bmod 2)\) 。

然后发现题目等价于这个问题：求整数序列 \(\{x\}\) 的方案数，要求满足：

1. 序列长度为 \(n\) 。

2. \(0\le x_1\le x_2\le\dots\le x_n\le m\)

3. 定义 \(f(i)=x_i\bmod 2\) ，记奇数位置的 \(f\) 值和为 \(A\) ，偶数位置的 \(f\) 值和为 \(B\)，则要求 \(A-B=k\) 。

假如已经确定所有了 \(f\) ，记 \(p=\sum [f(i)\not=f(i+1)]\)（这里为了方便思考可以假装 \(x_0=0\) ，\(x_{n+1}=m\) ），则发现方案数只和 \(p\) 有关，是个关于 \(p\) 的组合数。

发现 \(A-B\) 这个东西很恶心，所以考虑假装每个偶数位置的 \(f(i)=1\) ，奇数位置 \(f(i)=0\) ，此时每取反一个位置就会使 \(A-B\) 加一，就可以钦定若干个位置然后计算 \(p\) 。记 \(g(i)\) 表示 \(i\) 这个位置是否取反，发现 \(p\) 的值会变当且仅当 \(g(i)\not=g(i+1)\) 。考虑枚举 \(g\) 构成了多少个连续段，就能直接计算 \(p\) ，然后统计答案。要特判开头/结尾。

细节看 代码 。