[PAKEN Training Camp Day3] I. Guess Sequence

前言

无论如何, 在段中

思路

首先考虑一组 \(\{S_i, T_i\}\) 对, 它们之间必须满足 \(A_{S_i} A_{T_i} = B_{S_i} B_{T_i}\)
最终会形成 \(N - 1\) 个方程 \(B_{S_i}B_{T_i} = A_{S_i}A_{T_i}\), 其中右侧为常数相乘

直觉上可以给出一种粗暴的形式

\[ \begin{align*} \begin{cases} B_{a}B_{b} = A_{a}A_{b} \\ B_{a}B_{c} = A_{a}A_{c} \\ B_{b}B_{c} = A_{b}A_{c} \\ \end{cases} \end{align*} \]

这样情况下, \(B_b, B_c\) 是唯一的
但是感觉不够美丽, 需要更进一步的思考

考虑我们最终需要使得 \(N - 1\) 个方程的解唯一
那么不妨去找一个方程的性质

发现一个方程本质上是约束了 \(B_{S_i}, B_{T_i}\) 质因数分解后的指数之和
这也可以应用于上面粗暴形式的理解, 固定了 \(B_b, B_c\) 的指数之和和指数之差之后, 显然 \(B_b, B_c\) 唯一

现在的问题在于, 如何找到更优美的确定方式
思考了一会无果, 不妨先尝试用粗暴的形式来刻画
然后发现

3
1 2 3

用粗暴策略无法解释, 这是因为粗暴策略只能构造 \(N\) 组方程的解, 也就是先画一个三元环, 然后把剩下的连进去

然后顺着想下去, 看是否有一些特解使得我们可以少连一条边, 而且要尽可能简约和充分
因为这个题 \(N\) 很小, 大概是跟任意集合相关的?

发现少连一条边本质上是构造一棵树
把这棵树画出来之后发现, 根据一个根节点的变化, 会传递到整个树上的点, 并且同奇偶层传递量相同, 要么是 \(\times\) 要么是 \(\div\)

发现什么时候只有唯一解?
不难发现, 仅当同奇偶层 \(\gcd\) 为 \(1\) 时, 才会只有唯一解
也就是, 等价于这个集合能被分成两个不重集合, 使得每个集合内的 \(\gcd\) 为 \(1\)

总结

无论如何, 在段中

首先想到图论转化问题
然后发现本质上是构造一棵树, 然后在树上找性质