4.1 CW 模拟赛 T4. 最小环

前言

这个题会有两种 \(80 \textrm{pts}\) 的做法, 我会一同分析, \(100\) 先暂时放一放

一种方法, 这个先不讲, 这个方法可以做到 \(\mathcal{O} (n^2m + n^3)\), 但是这个不好玩

思路

首先考虑平均环长和需要什么: 环长 \(\&\) 环的边数
如果你在学习矩阵的时候了解过, 你会发现以下内容

关于两点间只经过 n 条边的最短路径长度

用邻接矩阵 $\mathbf{M}$ 表示一个图, $\mathbf{M}(i, j)$ 是其第 $i$ 行第 $j$ 列元素, 表示点 $i$ 和点 $j$ 的直接关系,

• 若点 $i$ 和点 $j$ 直接相连, 令 $\mathbf{M}[i,j]$ 等于边 $\{i, j\}$ 的权值, 否则等于 $\infty$；
• 当 $i = j$ 时, 令 $\mathbf{M}[i,i] = \infty$

定义矩阵的广义乘法 $\mathbf{M} \times \mathbf{M} = \min_{k=1}^{N}[\mathbf{M}(i, k) + \mathbf{M}(k, j)]$, 也就是把普通的矩阵乘法从求和改成了取最小值, 把内部项相乘改成了相加。

注意

当 $\oplus$ 运算满足交换律, $\otimes$ 运算满足交换律、结合律，且 $\oplus$ 对 $\otimes$ 存在分配律时, 矩阵乘法具有结合律

当前

• $\oplus$ 运算 $\min$ 满足交换律;
• $\otimes$ 运算 $+$ 满足交换律、结合律;
• $\oplus$ 对 $\otimes$ 存在分配律时 $($$\min\{\alpha_1, \alpha_1, \cdots, \alpha_k\} + \beta = \min\{\alpha_1 + \beta, \alpha_2 + \beta, \cdots, \alpha_k + \beta\}$ $)$, 这个矩阵乘法具有结合律

定理 $6.3.2$ 计算邻接矩阵的广义幂 $\mathbf{G} = \mathbf{M}^n$, $\mathbf{G}(i,j)$ 的值是从 $i$ 到 $j$ 经过 $n$ 条边（或 $n-1$ 个点）的最短路径长度。

证明
当 $n = 1$ 时, $\mathbf{G} = \mathbf{M}^1 = \mathbf{M}$, $\mathbf{G}$ 就是邻接矩阵 $\mathbf{M}$, 直接的点之间有一条边, 表示只有经过一条边的路径, 路径的值是两点间的边长；非直接的点的 $\mathbf{G}$ 值为 $\infty$, 表示没有只经过一条边的路径。例如, 图 $\rm{6.2(b)}$ 中, 点 $1$ 和点 $2$ 的 $\mathbf{M}(1,2) = 3$, 表示点 $1$ 和点 $2$ 之间只包含一条边的路径, 最短路径是 $3$；$\mathbf{M}(1,3) = \infty$, 表示点 $1$ 和点 $3$ 之间只包含一条边的路径有 $0$ 条。

当 $n = 2$ 时, $\mathbf{G} = \mathbf{M}^2 = \min_{a=1}^{N}[\mathbf{M}(i,a) + \mathbf{M}(a,j)]$, 只有当 $\mathbf{M}(i,a) \neq \infty$ 和 $\mathbf{M}(a,j) \neq \infty$ 时, 才有 $\mathbf{M}(i,a) + \mathbf{M}(a,j) \neq \infty$, 即如果 $i$ 到 $a$、$a$ 到 $j$ 都有边时, 值为边权之和, 这是一条从 $i$ 到 $j$ 经过 $a$ 的路径, 且只经过了 $a$ 一个点。$\mathbf{G}(i,j)$ 的值等于所有这种路径的最小值, 即所有从 $i$ 到 $j$ 经过一个中间点（或两条边）的最小路径。例如, 图 $\rm{6.2(c)}$ 中, $M(2,2) = 2$, 表示从点 $2$ 出发回到点 $2$, 经过两条边的最短路径是 $2$, 计算过程：$\mathbf{M}^2(2,2) = \min(\mathbf{M}(2,1) + \mathbf{M}(1,2), \mathbf{M}(2,2) + \mathbf{M}(2,2), \mathbf{M}(2,3) + \mathbf{M}(3,2), \mathbf{M}(2,4) + \mathbf{M}(4,2)) = \min(3 + 3, \infty, 1 + 1, 5 + 5) = 2$, $3$ 条路径分别是 $2\to 1\to 2$, $2\to 3\to 2$, $2\to 4\to 2$, 最短路径是 $2\to 3\to 2$。

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有了这个方法, 我们可以简单地计算出答案
但是关键问题在于这个题的边是一个指数类型的问题, 如何对上面的方法进行改造

不难发现边长可以用一个大进制数表示, 但是怎么去转移是一个问题
发现每个位置维护字符串类型的问题, 然后同样去做就行了

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稍微理一下方便实现
首先跟普通的方法一样, 我们考虑定义一个矩阵 \(\mathbf{M}\), 初始为邻接矩阵

然后我们需要求的答案就是

\[ans = \max_{l = 1}^{n} \dfrac{\mathbf{M}^l (i, i)}{l} \]

考虑其复杂度 \(\mathcal{O} (n^5)\), 显然是不优秀的

考虑为什么这个做法这么差, 但是题解做法遥遥领先, 好像这个做法不太能优化了

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发现可能的原因是这个图比较稀疏?

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发现什么原因都不是, 这个做法本质上就是 \(\mathcal{O} (n^5)\) 的, 但是比较 \(\min\) 的时候卡不满, 于是做到了接近 \(\mathcal{O} (n^4)\) 的复杂度, 就可以过了

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最后问题是怎么去做最终的比较, 给出一份代码供参考

代码

int len = 0, len1 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    len += Val[i], len1 += rhs.Val[i];
}
double pre = 0;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    pre *= 998244353;
    pre += (double)Val[i] / len;
    pre -= (double)rhs.Val[i] / len1;
    if (pre >= 1e9) return false;
    if (pre <= -1e9) return true;
}
return pre < 0;

当然也可以通分, 反正这样那样的

\(\textrm{Thanks for }\)\(\textrm{the author}\)\(\textrm{ of the idea.}\)