4.1 CW 模拟赛 赛时记录

前言

还是老样子, 加油

今天状态并不好, 目标就是不掉分
还带点感冒真的服了
反正可以预料的是, 今天最大的困难是心态

看题

\(\rm{T1}\)

不好是神秘期望
感觉不好, 不会是数学题吧

\(\rm{T2}\)

形式比较常见的计数题, 可能可以冲一下
但是显著较难

\(\rm{T3}\)

一些合法情况的题, 不太能秒

\(\rm{T4}\)

形式上比较糖

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个人感觉是其中有弱智题, 但是不知道到底哪个是以及到底有没有
所以今天尝试 \(\textrm{T1} \to \textrm{T2} \to \textrm{T3} \to \textrm{T4}\) 的形式, 因为大致感觉这样做比较好

\(\rm{T1}\)

数据检验, 不贪跟策略, 关键步记录
冷静, 耐心, 放下

思路

套路

• 概率与期望
  • 加法与乘法的结合本质上是穷举所有可能的独立组合
  • $\rm{dp}$ 特殊的点
    • 一定一定一定要分阶段
    • 可以先讨论那些更特殊的元素, 作为前阶段, 也就是说, 你可以在不影响概率的前提下处理阶段的优先级
    • 注意即使要求取 $\max, \min$, 也可以通过 $\rm{dp}$ 来处理, 实质即为通过改变操作序列来最值化一些东西, 不是真的对概率和期望进行取最值
  • 结束状态一定倒推, 开始状态一定正推
    • 按照规模 $\rm{dp}$
  • 期望 $\rm{dp}$
    • 全期望公式直接转移
    • 用期望定义
      • 可以求出每种情况的方案数，然后用期望定义得到答案
      • 先概率 $\rm{dp}$
    • 期望的线性性拆开考虑
    • 整体等概率一般可以拆成每一次均匀选择

设 \(f_i\) 表示离终点距离为 \(i\) 的情况的期望回合, 不难发现 \(f_0 = 0\)
考虑用全期望公式去思考一下

\[ \begin{align*} f_i \gets \dfrac{1}{n} \sum_{x = 1}^{n - 1} \begin{cases} 1 & x \geq i \\ f_{2i - 2x} + 1 & x < i \end{cases} + \dfrac{1}{n} \times \begin{cases} 1 & n \geq i \\ f_{2i - 2n} & n < i \end{cases} \end{align*} \]

所以第一档可能是给高斯消元的, 但是我不会, 因此这个题实际上挺不适合第一个开, 但是不管了, 冷静

接着化简这个方程找性质

\[ \begin{align*} f_i = \dfrac{n - \min(i, n)}{n} + \dfrac{1}{n} \sum_{x = 1}^{\min(i, n) - 1} \Big(f_{2i - 2x} + 1\Big) + \begin{cases} \dfrac{1}{n} & n \geq i \\ \dfrac{f_{2i - 2n}}{n} & n < i \end{cases} \end{align*} \]

完全不会, 先润了, 这题身上拿不到分的
比较后悔当时没学, 这题只能希望少一点人打出正解了

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发现题读假了, 再来一次
发现还是不会, 但是猜了个 \(n - 1 +\dfrac{1}{n}\) 这样, 反正过大样例了

\(\rm{T2}\)

数据检验, 不贪跟策略, 关键步记录
冷静, 耐心, 放下

思路

上厕所会了 \(60\), 比较重口的想题方法
也就是简单容斥 + \(\rm{dp}\) 这样, 如果最后确定要打这一档需要再理一下

稍微再推进一下, 因为今天相当于三题赛, 分还是挺少的

想一下第二维表示分段数的是不是也可以容斥
发现超出能力了, 下午再说, 先理一下 \(60\)

首先不难发现, 如果我们把 \(b_i = b_{i + 1}\) 视作性质 \(A_i\)
于是可以用简单容斥计算出拥有性质 \(A_i\) 的交集, 这个过程用 \(\rm{dp}\) + 单调栈维护即可
先打一下

实现

首先处理 \(\rm{dp}\), 然后容斥计算方案数
发现这类题我更熟练一点, 但事实是 \(\rm{T1}\) 别人过一个就遥遥领先我了

\(\rm{T3}\)

数据检验, 不贪跟策略, 关键步记录
冷静, 耐心, 放下

思路

现在十万火急, 只有 \(60\), 我们尽可能拿更多的分

套路

• 定义合法情况, 要求输出一组合法情况 / 合法情况的最值问题 / 求方案数

  • 模拟操作情况
  • 往往利用 $\rm{dp}$ , 结合约束处理当前方案数
    • 关注构造方案 / 顺序
    • 在处理同时判定合法性
    • 前后的无后效性$($不相关性$)$
    • 由合法情况导出的答案
      • 先考虑最终答案的表达式 $($合法解的构造方案$)$ , 基础上进行 $\rm{dp}$
    • 关注本质重复的转移是否存在
  • 将条件数学化
  • 枚举开销对应的值$($超过 $x$ / 不大于 $x$ / 长度为 $x$$)$ , 然后考虑对于这个值进行
    • 不好同时维护的东西, 考虑枚举一个使另一个最优
      • 贪心
    • 判断合法性
      • 往往拥有单调性
    • 一般优先考虑枚举性质更多, 或者确定性更强的元素
  • 序列类问题看是否能改造成选点类问题乘上权值

• 二进制相关问题

  • 往往可以拆成每一位考虑
    • 贪心
    • 拆分贡献
      • 注意独立性
  • 异或
    • 注意结合律
    • 同值异或可以无视
    • 可以前缀和, 拥有逆运算
    • 本质上是对位的取反
    • 位与位之间不相关

首先分析问题, 要求行列不同且对每一位填的 \(1\) 的总数有限制
怎么求方案数?

找点性质
假设我们已经钦定了上下两行取得数, 计算列的可能情况数
发现不大好算啊

想起来赛前说的这题数学题, 那先跑路了

回来打 \(20\), 发现暴力过不了, 没时间了

\(\rm{T4}\)

数据检验, 不贪跟策略, 关键步记录
冷静, 耐心, 放下

思路

只会 \(30\), 要不先打了 \(\rm{T3, T4}\) 暴力然后去想 \(\rm{T2}\) 差不多
\(\rm{lhs}\) 说 \(80\) 可用矩阵, 还好我关于图上问题一点积累都没有, 无语