[CF 1874C] Jellyfish and EVA

前言

听说是原题, 这下这下了

思路

首先找下性质
不难发现可以用规模法, 考虑 \(u \to n\) 的最大概率

猜测可以按照 \(f_v\) 为优先级从大到小选择 \(u\) 的出边, 但是需要一些证明
很喜欢题解的一句话, 证明我并不是弱智

一个显然的想法将能到达的点按照到达终点的概率从大到小排序，依次选择，但是这样会不会出现把它安排到后面，当竞争对手减少的时候再选择更优的情况呢？

证明

考虑固定选择顺序, 设共有 $n$ 个出边
第一个数被选择的概率是 $\dfrac{1}{n}$, 这是显然的;
第二个数被选择的概率是 $\dfrac{n - 2}{n} \times \dfrac{1}{n - 2}$, 这是显然的;
后面并不好计算, 但是

• 推导贪心策略的常用方法
  • 反证 + 作差
  • 增量法
  • 调整法
  • 交换相邻元素法

作差困难, 增量不可用, 调整困难
使用交换相邻元素法

假设当前剩下 $k$ 个出边, 当前选择序列的开头为 $x, y$
那么在当前的基础上, $x, y$ 带来的贡献是
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{k} \times w_x + \dfrac{k - 2}{k} \times \dfrac{1}{k - 2} \times w_y \\ =& \dfrac{1}{k} (w_x + w_y) \end{aligned}$$
不难发现交换相邻元素不会影响贡献
因此事实上不会影响贡献(吗?)

感觉比较逆天, 但是我们可以打表搞出对于一种选择顺序, 最终选择到第 $i$ 个位置的概率
然后发现确实应该按照 $f_v$ 从大到小选择

无论怎样, 我们钦定按照 \(f_v\) 从大到小为选择顺序
然后问题相对来说要好做了, 剩下的就是对转移系数的处理

子问题

分析题目

给定降序序列 $\alpha$, 每次你可以选择最前的 $u$, 然后随机一个下标 $v$, 如果 $u = v$ 那么返回 $u$, 否则删除 $\alpha_u, \alpha_v$
求返回 $a_i$ 的概率

初步性质

进行一些手推之后, 不难发现类似于一个递归进入子问题的, 于是考虑规模类 $\rm{dp}$

设 $f_{i, j}$ 表示考虑在 $i$ 个元素中选择第 $j$ 大的概率, 那么有
$$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{1}{i} & j = 1 \\ \dfrac{j - 2}{i} \times f_{i - 2, j - 2} + \dfrac{i - j}{i} \times f_{i - 2, j - 1} & \text{otherwise.} \end{cases} \end{aligned}$$

转化用于做题

于是就类似于此, 进行全概率公式的转移即可

总结

比较逆天的概率 \(\rm{dp}\), 撞到盲点上了

系数用其他 \(\rm{dp}\) 计算也并不是什么新鲜事, 但是还是较为困难