3.26 CW 模拟赛 T1. 公约数神庙

前言

补题就好好补, 进入状态

圣剑忘在寝室了, 我咧个豆, 下午再来一次检查一套连招给我送回实外
希望 \(\rm{deepseek}\) 解决了服务器繁忙问题\((\)然后就繁忙了\()\)

思路

首先不难想到的是暴力建图然后跑传递闭包
但是这样复杂度是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的, 只能趋势

发现如果有优化建图的方法, 那么复杂度就可以优化到 \(\mathcal{O}\left(\dfrac{n^2}{w}\right)\), 看上去是很好的
那么怎么优化建图呢?

首先我们考虑把它当做子问题处理

子问题

分析题目

建图在一个序列 $\alpha$ 的基础上
倘若 $\gcd(\alpha_i, \alpha_j) > 1$ 则连边 $i \to j$

$\alpha_i \leq 1000$, 求建图在 $\mathcal{O} (n^2)$ 以下的方法

找初步性质

首先 $\rm{gcd}$ 问题

• $\rm{gcd}$
  • 尝试计算 $x | \textrm{gcd}$ 的 $\textrm{gcd}$ 个数从而计算出 $x = \textrm{gcd}$ 的 $\textrm{gcd}$ 个数
  • 指数拆分法
  • 钦定 $\rm{gcd}$ 的值, 再去找性质
    • 常常找 $\rm{gcd}$ 的倍数

发现都没有用, 再去找性质
考虑 $\gcd(\alpha_i, \alpha_j) > 1$ 的本质是存在质数 $x | \alpha_i, x | \alpha_j$ 且 $x > 1$
因此如果我们考虑 $1000$ 以内的 $\pi = 168$ 个质数, 可以在 $\mathcal{O} (n \pi)$ 内建出 $\pi$ 条可达链, 在链 $l_i$ 上, 你只要能走到 $l_{i, j}$ 就可以走到 $l_{i, k \geq j}$

转化用于做题

那么怎么去判断可达性?
不难发现对于点 $v$, 其最多在 $4$ 条链上
那么我们有两种方法去做

似乎可以直接维护传递闭包了

但是问题出在 $0$ 上, 关于 $0$ 怎么去做呢?
如果出现了 $0$, 其被视为 $1000$ 内所有质因数之积, 严重影响了优化建图
于是我们考虑对 $0$ 进行特殊处理
分讨

• $x = y$ 显然可行
• $\alpha_x = \alpha_y = 1$ 显然不可行
• $\alpha_x = \alpha_y = 0$ 显然判断中间是否有 $> 1$ 的数
• 两数之间如果有 $0$ 显然可行

似乎解决了, 但是你发现 $\mathcal{O}\left(\dfrac{n^2}{w}\right)$ 的空间复杂度成为了瓶颈, 睡觉
于是考虑分开对链处理

$\rm{bitset}$

问题出在不能对点处理, 考虑把链当做整体处理
不难发现如果把询问按照 $x$ 从大到小排序, 我们可以离线下来询问

于是根据询问, 我们动态维护每一条链的可达后缀, 然后做一下就好了

利用拓扑序 $\rm{dp}$

发现可达后缀可以用单点表示
我们发现我们只需要维护从点 $i$ 出发, 每条链上最前能走到哪
记 $f_{i, p}$ 表示从 $i$ 出发, 在 $p$ 链上能走到的最近位置
$$\begin{align*} f_{i, p} = \begin{cases} i & \alpha_i \mid p \\ \min\limits_{i \to k} f_{k, p} & \alpha_i \nmid p \end{cases} \end{align*}$$

本质上是对 $\rm{bitset}$ 的优化

总结

不互质的神奇性质
神奇优化建图