Good Trip

前言

感觉 \(\rm{trae}\) 太吃 \(\rm{cpu}\) 了, 单开的时候还好, 双开的时候体验感太差了
现在怎么莫名其妙又好了, 简直神奇
哦原来是这个还没写多少, 看起来是和插件的兼容问题, 希望后续能更好

这题是超级神奇的期望题, 需要好好做

思路

题意说实在的其实并不是很清晰

题意

给定 $n$ 个入, 其中有 $m$ 对朋友关系, 第 $i$ 对朋友最初的友谊值为 $f_i$

$k$ 次选择, 每次等概率选择一对入 $($也就是 ${n \choose 2}$ 的概率$)$
对于一个朋友对, 假设它被选取了, 那么在之后的选择中, 它的友谊值会变成 $f_i + 1$
求每次选择的所有朋友对的友谊值的期望和

不难发现可以把期望拆成每一对朋友的期望
对于一个朋友对, 假设它被选取了 $p \geq 0$ 次, 那么其总贡献就是
$$\begin{align*} & \sum_{i = 1}^{p} f_i + (i - 1) \\ =& f_i \times p + \dfrac{p \times (p - 1)}{2} \end{align*}$$

不难发现拆成对之间的贡献之后, 我们就可以简单处理了
可能会想到 \(\rm{dp}\), 但是发现 \(\mathcal{O} (n^2)\) 的复杂度是不可接受的, 而且不好优化

考虑其他好一点的做法, 根据期望的线性性, \(E\Big(\sum_{i = 1}^{k} h_i\Big) = \sum_{i = 1}^{n} E(h_i)\), 转化为计算每一对的期望和
因此可以简单列出表达式

\[\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=0}^{k}(\dfrac{\frac{n\times(n-1)}{2}-1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^{k-i}\times(\frac{1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^i\times C_k^i\times\frac{((f_j)+(f_j+i-1))\times i}{2} \]

整理:

\[\sum_{i=0}^{k}(\frac{\frac{n\times(n-1)}{2}-1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^{k-i}\times(\frac{1}{\frac{n\times(n-1)}{2}})^i\times C_k^i\times\frac{(\sum_{j=1}^{m}(2\times f_j+i-1)))\times i}{2} \]

发现这个不难计算就完成了

总结

总是要去模拟一下找性质的, 不然题都看不懂

• 常见贡献问题

  • 求多种方式的贡献和
    • 往往更改贡献主题, 求花费对应的操作方式个数
    • 求单位部分的贡献, 然后求和
  • 求多种方式的最大贡献
    • 往往转化成判定类问题

• 概率与期望

  • 加法与乘法的结合本质上是穷举所有可能的独立组合
  • \(\rm{dp}\) 特殊的点
    • 一定一定一定要分阶段
    • 可以先讨论那些更特殊的元素, 作为前阶段, 也就是说, 你可以在不影响概率的前提下处理阶段的优先级
  • 结束状态一定倒推, 开始状态一定正推
    • 按照规模 \(\rm{dp}\)
  • 期望 \(\rm{dp}\)
    • 全期望公式直接转移
    • 用期望定义
      • 可以求出每种情况的方案数，然后用期望定义得到答案
      • 先概率 \(\rm{dp}\)
    • 期望的线性性拆开考虑
    • 整体等概率一般可以拆成每一次均匀选择
  • 概率 \(\rm{dp}\)
    • 全概率公式直接转移
    • 双状态类问题
      • 在允许的情况下具体维护 是否 的概率一般是更方便的
    • 概率往往可以看做是方案数, 但是带了个总方案数的分母