3.6 CW 模拟赛 T1. 岛屿

前言

不要浮躁

思路想一半,
系数根本拼不对,
怎么做概期

思路

直接给出转化题意, 如何想到这个题意转化, 我觉得是对出题人内心的揣摩, 也就是发掘 \(X, Y\) 的意义

题意

题意比较复杂, 我们分开来讲

概述

初始给定 $2N$ 个点和常数 $X, Y$ $($其中 $2X + Y = N$$)$, 每个点按照如下规则染成红蓝两色

其中初始红蓝各有 $X$ 个同色对, 有 $Y$ 个异色对

要求在图中添加 $N$ 条边, 其中每条边都应该是连接异色对, 并且每个点只能连接一次$($也就是对于添加的, 钦定每个点的度为 $1$$)$ , 新边可以和初始边重合

要求如果我们等概率随机选择一种添加道路的方案, 最终整个图中的连通块个数的数学期望是多少?

对于只能连接一次的限制处理

赛时思路

我们考虑每次连上边之后, 直接把这个点看做消失即可接着处理
在淀粉质和一些题中已经见过这种情况了

更美好的思路

首先, 初始存在的边形成一个完美匹配
按题意要求, 加上去的边也必须形成一个完美匹配
所以, 最后得到的图是两个完美匹配的并, 也就是说, 最后的图中每个点的度一定也为 $2$, 因为图是有限大的并且每个度数要求为 $2$, 最后的每个连通块必然恰好是一个大小至少为 $2$ 的环。​

我们考虑连边过程
连上一部分新边之后, 图中一定是若干条链和若干个环, 已经成环的部分对之后的连接情况没有影响, 而一条链对之后连接情况的影响只和两端颜色有关
也就是说, 我们只需要知道一个状态中红红、红蓝、蓝蓝三种链各有多少条, 就知道之后的连接过程中它的连通块数的数学期望。按题意, 红红和蓝蓝的边数总是相等的

重点: 等概率

题目对其定义:
两种方式不同当且仅当添加的边集不相等, 显然总共的方案数是一个有限大的正整数
也就是等可能选取其中的一种添加边集

考虑从整体拆开方便我们找系数

题解中说 “等概率随机选择合法方案”等价于“按固定顺序对每个红色点独立分配一个蓝色点”
考虑对其进行证明

证明

感性证明

1. 样本空间的等价性

• 合法方案的总数：
每个红色小岛需要唯一对应一个蓝色小岛，形成 完美匹配（双射）。
总方案数为 $N!$（排列数），因为第一个红点有 $N$ 种选择，第二个红点有 $N-1$ 种，依此类推。

• 按固定顺序独立分配：
若逐个处理红点，每次从剩余蓝点中随机选择，最终结果也是所有可能的完美匹配，总数为 $N!$。
两种方法的样本空间完全一致。

2. 概率分布的均匀性

• 等概率随机选择合法方案：
每个合法方案的概率为 $\frac{1}{N!}$，因为所有完美匹配被视为等概率事件。

• 按顺序独立分配：
每个红点的选择是均匀且独立的：
• 第 1 个红点选择任一蓝点的概率为 $\frac{1}{N}$；
• 第 2 个红点从剩余 $N-1$ 个蓝点中随机选，概率为 $\frac{1}{N-1}$；
• 依此类推，第 $k$ 个红点的选择概率为 $\frac{1}{N-k+1}$。
联合概率为：
$$\frac{1}{N} \times \frac{1}{N-1} \times \cdots \times 1 = \frac{1}{N!},$$
与直接等概率选择合法方案的概率一致。

3. 独立性不受顺序影响

• 分配顺序不影响概率分布：
即使按固定顺序处理红点，每个红点的选择仅依赖于当前剩余的蓝点集合，与历史顺序无关。最终所有合法方案的概率仍均匀分布为 $\frac{1}{N!}$。

• 结果仅依赖最终匹配：
无论是直接枚举所有合法方案，还是按顺序逐步分配，最终结果都对应相同的完美匹配集合，且每个匹配的概率相等。

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数学形式化证明

设 $S$ 为所有合法方案的集合，$|S| = N!$。
• 等概率随机选择：
对任意 $s \in S$，有 $P(s) = \frac{1}{N!}$。

• 按顺序独立分配：
对任意 $s \in S$，其对应的分配路径唯一（例如，第一个红点选 $b_1$，第二个红点选 $b_2$，依此类推）。
路径概率为：
$$P(s) = \prod_{k=1}^N \frac{1}{N - k + 1} = \frac{1}{N!}.$$
两种方法生成的分布完全一致。

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直观理解

• 排列的对称性：
所有完美匹配在排列操作下具有对称性，无任何特殊匹配被优先生成或抑制。
无论采用全局随机还是逐步独立分配，对称性保证了均匀分布。

• 独立性隐含均匀性：
按顺序分配时，每一步的独立性确保了每个蓝点被选中的概率均等，最终所有合法方案的概率自然相等。

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总结

两种方法的等价性源于：

1. 样本空间均为所有完美匹配（$N!$ 种）；
2. 每个合法方案的概率均为 $\frac{1}{N!}$；
3. 分配顺序不影响概率分布的均匀性。

因此，在计算连通块个数的期望时，两种方法完全等价，可通过任意一种方式简化分析。

因此考虑维护 \(f_{a, b}\) 表示红红/蓝蓝链的个数为 \(a\) , 红蓝链的个数为 \(b\) 的连通块大小期望
然后全期望公式日一下, 最后化个简即可

具体的放官方题解

官方题解

首先，初始存在的边形成一个完美匹配。按照题目的要求，加上去的边也必须形成一个完美匹配。所以，最后得到的图是两个完美匹配的并，也就是说，最后的图中每个点的度数都为 $2$。因为图是有限的并且每个点的度数为 $2$，最后的每个连通块都是一个大小至少为 $2$ 的环。

我们考虑连接过程。连接一部分新边之后，图中一定是若干条链和若干个环。已形成环的部分对之后的连接情况没有影响，而一条链对之后连接情况的影响只和两端的颜色有关。也就是说，我们只需要知道一个状态中红红链、红蓝链、蓝蓝链的数量，就可以通过连接过程计算连通块数的数学期望。按题意，红红链和蓝蓝链的边数总是相等的。

因此，我们设 $F(a, b)$ 表示初始有 $a$ 条红红链、$a$ 条蓝蓝链和 $b$ 条红蓝链的图等概率随机连接红蓝边的期望连通块数。则答案为 $F(X, Y)$。

考虑第一步的连接情况：
• 如果是红红链和蓝蓝链连接，则新的链为红蓝链，连通块数为 $F(a - 1, b + 1)$；
• 如果是红红链和红蓝链连接，则新的链为红红链，连通块数为 $F(a, b - 1)$；
• 如果是蓝蓝链和红蓝链连接，则新的链为蓝蓝链，连通块数为 $F(a, b - 1)$；
• 如果是红蓝链和红蓝链连接，则新的链为蓝蓝链，连通块数为 $F(a, b - 1)$（两条不同的红蓝链）或者 $F(a, b - 1) + 1$（同一条红蓝链首尾相连）。

而等概率随机等价于按某个固定顺序给每个红端点独立随机匹配一个蓝端点。那么，不妨优先选择红蓝链的端点匹配。所以，
$$\begin{align*} \begin{cases} F(a, b) = \frac{1}{2a + b} \cdot \Big(F(a, b - 1) + 1\Big) + \frac{2a + b - 1}{2a + b} \cdot F(a, b - 1), & \quad b > 0 \\ F(a, b) = F(a - 1, b + 1), & \quad b = 0 \end{cases} \end{align*}$$

注: 一些理解

为什么只有同一条红蓝链首尾相连的连通块个数需要 $+1$ ?
因为红蓝链首尾相连, 余下的部分的连通块个数是 $F(a, b - 1)$ , 加上这一个就是 $F(a, b - 1) + 1$

而其他的连接方式都没有闭合环, 因此 $+1$ 是错误的

化简后，
$$\begin{align*} \begin{cases} F(a, b) = \frac{1}{2a + b} + F(a, b - 1), & \quad b > 0 \\ F(a, b) = F(a - 1, 1) = \frac{1}{2a - 1} + F(a - 1, 0), & \quad b = 0 \end{cases} \end{align*}$$
并且，$F(0, 0) = 0$。

所以，
$$F(X, Y) = \sum_{b=1}^{Y} \frac{1}{2X + b} + \sum_{a=1}^{X} \frac{1}{2a - 1}$$

时间复杂度：$O(N)$

总结

度数全等一般可以转化成连通块都为环

期望题, 往往把整体概率拆成每一部分的概率

这种整体等概率一般可以拆成每一次均匀选择

赛时的计算方式为什么错误

如何计算完美匹配的总方案数

发现完美匹配等价于找一个 $\sigma(i)$ 表示把第 $i$ 个红色点与第 $\sigma(i)$ 个蓝色点匹配
不难发现 $\sigma(i)$ 应当是一个排列, 所以方案数为 $n!$

为什么不能按照剩下的合法边数量来推系数

假设当前我们拥有 $a$ 个红红, $a$ 个蓝蓝, $b$ 个红蓝
不难发现可以选择 $(2a + b)^2$ 个连边是合法的
然后再类似的去选择对应的概率计算

首先看样本空间
每次我们都可以选择一个匹配, 最终一个匹配的概率 $\large \prod \frac{1}{(2a + b)^2}$ , 这一步已经不一样了, 可以说明这两种概率空间不同

原因是什么?
发现因为没有钦定匹配顺序, 可能会出现同样的添加边集
但是问题是为什么影响了期望 $\rm{dp}$ 的转移?

显然影响到了, 因为这样会统计重
所有概期问题都至少要确保 $\rm{dp}$ 分阶段

期望 $\rm{dp}$ 为什么要倒推 $($并非$)$

也就是说, 为什么一定要从结束状态倒推到起始状态
事实上这个题因为起始结束状态一定且可达, 倒推正推都一样
所以这个问题纯纯看个乐子, 不管我

其实倒推只是更符合全期望公式, 正推也是可以的

二元关系考虑一个作为下标, 一个作为值

全期望公式直接转移的期望 \(\rm{dp}\)

一种很有趣的说法: 求期望本质上是在递归，需要后续的状态以求出当前状态。