3.3 练时记录

前言

虽然似乎并不是每日一练, 但是公式化做着即可
策略分配好, 别贪, 冷静

\(\textrm{A. Condorcet Elections}\)

省流: 不会构造

出题人相思了, 想吃紫蛋了

• 定义合法情况, 要求输出一组合法情况 / 合法情况的最值问题 / 求方案数

  • 将条件数学化
  • 往往利用 \(\rm{dp}\) , 结合约束处理当前方案数
    • 关注构造方案 / 顺序
    • 关注本质重复的转移是否存在
    • 由合法情况导出的答案
      • 先考虑最终答案的表达式 \((\)合法解的构造方案\()\) , 基础上进行 \(\rm{dp}\)
  • 找到所有情况统一的构造方案
  • 列出合法情况需要满足的表达式
    • 在原序列中贪心选择最优情况
    • 然后在基础上进行调整

• 乱搞

  • 数据范围小
  • 答案范围小
    枚举每次操作, 剪枝

思路

题意

求 $n$ 个排列 $p_i$ , 我们记 $\alpha$ 在 $p_i$ 中的位置为 $\rho_{i, \alpha}$
其中 $\alpha$ 击败 $\beta$ , 定义为 $\Big(\sum_{i = 1}^{n} [\rho_{i, \alpha} < \rho_{i, \beta}]\Big) > \frac{n}{2}$

给定一张图, 其中边 $\{u, v\}$ 表示 $u$ 击败 $v$
构造一组合法 $p$ 或者蟠桃

其中 $n \leq 50$

首先观察到给定的图即使成环不一定无解, 所以并不方便用图论处理
更大的原因是合法情况并非只与状态和顺序有关

可以形象化问题
给定一个图, 其中边 \(\{u, v\}\) 可以拆成 \(\left\lfloor\frac{k + 1}{2}\right\rfloor\) 条边, 求把每条边分给一个图, 使得总共 \(k\) 个图中不存在带环图

好吧原来是美丽构造, 那我很不会了

\(\textrm{B. Mascot Naming}\)

省流: 贪心想出来了但是蒙的, 所以自己觉得是错的

• 定义合法情况, 要求输出一组合法情况 / 合法情况的最值问题 / 求方案数
  • 将条件数学化
  • 找到所有情况统一的构造方案
  • 逆向思维
  • 列出合法情况需要满足的表达式
    • 在原序列中贪心选择最优情况
    • 然后在基础上进行调整
  • 构造: 先推性质, 不行打表
  • 找到不合法情况在什么时候出现, 通过对不合法情况的转化构造最优的合法情况
  • 一般优先考虑枚举性质更多, 或者确定性更强的元素
• 先从已经确定的部分开始考虑
• 先排除无效元素

思路

先把一定无解情况判掉, 现在 \(t\) 只可能由一些 \(s\) 拼起来组成, 那么显然如果 \(t\) 和 \(s_i\) 中没有公共子序列, 这个 \(s_i\) 没有用, 直接丢掉

感性理解发现一种贪心
每次先把能不跳的用完, 然后跳一次

原来是子序列性质导致的, 我的贪心正确但是我没有意识到

\(\textrm{E. Gathering Sharks}\)

省流: 会

题面

你是一群生活在一条一维海洋中的 \(n\) 条鲨鱼的领导者。鲨鱼从左到右排列，每对相邻的鲨鱼之间相隔一个单位距离。

作为领导者，你希望所有的鲨鱼聚集在一个共同点，形成一个单一的群体。最初，没有两条鲨鱼属于同一个群体；对于每个 \(i=1,2,\cdots,n\) ，从左数的第 \(i\) 条鲨鱼形成自己的群体，编号为 \(a_i\)，仅包含自己。

为了实现你的目标，你可以命令鲨鱼执行以下动作 \(n-1\) 次。

\(1\). 你喊出一个整数 \(b\)，满足以下两个条件：

• 存在一个编号为 \(b\) 的群体。

• 存在至少一个编号严格小于 \(b\) 的群体。

\(2\). 然后，令 \(c\) 为严格小于 \(b\) 的最大现有群体编号，编号为 \(b\) 的群体中的所有鲨鱼同时移动到编号为c的群体的位置，并且这两个群体合并。

\(3\). 合并后的群体编号为 \(b\) ，编号为 \(c\) 的群体不再存在。

所有鲨鱼以每单位时间一个单位距离的恒定速度移动。命令必须按顺序执行，执行过程中不能重叠。一旦一个命令完成，下一个命令可以立即开始。

通过最优地命令鲨鱼执行 \(n-1\) 次动作，计算所有鲨鱼聚集在一个共同点所需的最短时间。

输入

输入的第一行包含一个整数 \(n(2\leq n\leq 500)\)。第二行包含 \(n\) 个互不相同的整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n(1\leq a_i\leq n)\)。

输出

输出所有鲨鱼聚集在一个共同点所需的最短时间。

示例

标准输入	标准输出
\(4\\ 3\ 2\ 4\ 1\)	\(4\)
\(9\\ 1\ 2\ 4\ 5\ 7\ 8\ 3\ 6\ 9\)	\(17\)

注意

示例输入/输出 \(\#1\) 的解释

你可以命令鲨鱼执行以下动作：

\(1\). 你喊出 \(3\)。最左边的鲨鱼移动到第二左边鲨鱼的位置，它们形成一个编号为 \(3\) 的群体。这需要 \(1\) 个单位时间。

\(2\). 你喊出 \(4\)。第二右边的鲨鱼移动到编号为 \(3\) 的群体的位置，它们形成一个编号为 \(4\) 的群体。这需要 \(1\) 个单位时间。

\(3\). 你喊出 \(4\) 。编号为 \(4\) 的群体中的鲨鱼移动到最右边的位置，形成一个包含四条鲨鱼的群体。这需要 \(2\) 个单位时间。

总时间为 \(1+1+2=4\)。可以证明 \(4\) 个单位时间是最优的。

思路

• 定义操作 (约束) 和开销 / 收益, 要求最值化开销 / 收益
  • 模拟操作, 找性质
  • 最优化问题的瓶颈, 考虑找最优解的性质来处理
  • 逐元素处理
    • 先找到统一的构造方式
    • 直接处理
    • 推导动态规划
  • 先找到一组简单的合法解, 然后在基础上进行调整, 使其花销更优

题意不难转化成一个有向图上跳跃的问题
不难发现需要求出如何提前让一些值跳跃从而达到最优解

考虑类似区间 \(\rm{dp}\) , 很对啊

\(\textrm{F. Corrupted File}\)

省流: 思路僵化没想出来

题面

输入文件：标准输入

输出文件：标准输出

时间限制：\(2\) 秒

内存限制：\(1024\) MB

\(\textrm{WannaLaugh}\) 恶意软件是一种在互联网上传播的新型计算机恶意软件。如果计算机感染了这种恶意软件，那么恶意软件将损坏计算机中的所有文件。计算机中的文件包含零个或多个比特。恶意软件通过执行零个或多个操作来损坏文件。在一次操作中，恶意软件随机选择两个连续的比特，并将它们替换为一个比特。如果被替换的两个比特都是 \(1\)，则新比特为 \(1\)，否则为 \(0\)。

例如，恶意软件可能会按以下方式损坏一个比特为 \(11011011\) 的文件：

\(1\). 恶意软件选择第一个和第二个比特：\(11011011 \to 1011011\)。

\(2\). 恶意软件选择第二个和第三个比特：\(1011011 \to 101011\)。

\(3\). 恶意软件选择第三个和第四个比特：\(101011 \to 10011\)。

或者，恶意软件可能会首先选择第三个和第四个比特：\(11011011 \to 1101011\) 。

在一天开始时，你有一个包含 \(n\) 个比特的文件，记为 \(B\) 。你花了一天时间上网，包括查看你最喜欢的编程竞赛网站，就像许多 \(\textrm{ICPC}\) 参赛者会做的那样。在一天结束时，同一个文件包含 \(m\) 个比特，记为 \(C\)。你想确定这个文件是否可能被 \(\textrm{WannaLaugh}\) 恶意软件损坏，或者它是否因其他原因发生了变化。

输入

输入的第一行包含一个整数 \(t(1\leq t\leq 10000)\) 表示测试用例的数量。之后，跟随 \(t\) 个测试用例。每个测试用例的表示如下。

输入的第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m(1\leq m\leq n\leq 100000)\)。第二行包含一个由 \(n\) 个字符组成的字符串，每个字符是 \(0\) 或 \(1\)，表示比特 \(B\)。第三行包含一个由 \(m\) 个字符组成的字符串，每个字符是 \(0\) 或 \(1\)，表示比特 \(C\)。

一个输入文件中所有测试用例的 \(n\) 的总和不超过 \(100000\)。

输出

对于每个测试用例，如果文件中的比特 \(B\) 可能被 \(\textrm{WannaLaugh}\) 恶意软件损坏为比特 \(C\) ，则输出 yes，否则输出 no。

示例

标准输入	标准输出
\(3\\85\\11011011\\10011\\33\\101\\101\\32\\101\\00\)	\(\textrm{yes}\\ \textrm{yes}\\ \textrm{no}\)

注意

示例输入/输出 \(\#1\)的解释

第一个测试用例对应于问题描述中的示例。

对于第二个测试用例，恶意软件可能执行零次操作。

对于第三个测试用例，恶意软件不可能将比特为 \(101\) 的文件损坏为比特 \(00\)。

思路

• 定义操作, 要求把 \(a \to b\)
  • 逆向思维, 把 \(b\) 拆成 \(a\)
    • 用 \(\rm{STL}\) 维护
  • 考虑操作是否能构造出单位操作, 在用单位操作的性质去做题 \((\)一般是到了哪里就不能操作了\()\)
  • 可以考虑找可逆性 : 有了这个性质就可以把问题简化成变换到同一种形式
  • 直接正向处理
    • 构造方式

题意不再赘述

不太可能存在可逆性
从逆向思维的角度思考

发现可以直接正向思考, 找到构造方式即可

\(\textrm{G. Tower of Hanoi}\)

省流: 啥也不会, 第一步转化没想到

题面

时间限制：\(2\) 秒

内存限制：\(1024\) MB

去年，你在参加 \(\rm{ICPC}\) 亚太区锦标赛时，了解了著名的汉诺塔问题。在这个问题中，有三根柱子和若干个半径不同的圆盘，这些圆盘可以滑动到任何一根柱子上。柱子编号为 \(1\) 到 \(3\)。在任何时候，每个圆盘都必须堆叠在其中一根柱子上，并且每根柱子上的圆盘必须按照半径从小到大的顺序从上到下排列。在每一步中，你可以将一根柱子顶部的圆盘移动到另一根柱子的顶部，前提是这个移动不会违反上述限制。目标是以最少的步骤将所有圆盘移动到柱子 \(1\)。

你正在解决这个著名问题的一个扩展。你有一个包含 \(n\) 个整数的序列 \(p_{1}, p_{2},\ldots, p_{n}\)，它们的初始值已经给出。

你还被给出了 \(q\) 个操作。每个操作是以下两种之一：

更改操作：给出两个整数 \(x\) 和 \(y\)。此操作要求你将 \(p_{x}\) 的值更改为 \(y\) 。

解决操作：给出两个整数 \(l\) 和 \(r\)。此操作要求你解决汉诺塔问题，其中包含 \(r-l+1\) 个半径为 \(l, l+1,\ldots, r\) 的圆盘，其中半径为 \(i\) 的圆盘最初堆叠在柱子 \(p_{i}\) 上，对于每个 \(l\leq i\leq r\)。最初堆叠在每根柱子上的圆盘的顺序满足前面解释的限制。你需要找到将所有圆盘移动到柱子 \(1\) 所需的最少步骤数，结果对 \(998,244,353\) 取模。

你的任务是按顺序执行所有给定的操作。

输入

输入的第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(q(1\leq n\leq 100000; 1\leq q\leq 100000)\)。第二行包含 \(n\) 个整数，表示 \(p_{1}, p_{2},\ldots, p_{n}\) 的初始值 \((1\leq p_{i}\leq 3)\)。接下来的 \(q\) 行按顺序表示要执行的操作。每行是以下格式之一：

\(1\). \(c\ x\ y\) \((1\leq x\leq n; 1\leq y\leq 3)\) 以应用更改操作，指定整数 \(x\) 和 \(y\)。

\(2\). \(s\ l\ r\) \((1\leq l\leq r\leq n)\) 以应用解决操作，指定整数 \(l\) 和 \(r\)。

输入中至少包含一个解决操作。

输出

对于每个解决操作，按顺序输出解决汉诺塔问题所需的最少步骤数，结果对 \(998,244,353\) 取模。

示例

标准输入	标准输出
\(4\ 4\)
\(2\ 3\ 1\ 3\)
\(s\ 2\ 4\)	\(6\)
\(s\ 1\ 3\)	\(2\)
\(c\ 3\ 3\)
\(s\ 24\)	\(7\)

说明

对示例输入/输出 \(\#1\) 的解释

第一个操作要求你解决汉诺塔问题，其中半径为 \(2、3\) 和 \(4\) 的圆盘最初分别堆叠在柱子 \(3、1\) 和 \(3\) 上。所有圆盘可以在 \(6\) 步内移动到柱子 \(1\)，如图 \(1\) 所示。

图 \(1\)：将所有圆盘移动到柱子 \(1\) 的 \(6\) 个步骤。阴影柱子表示最后一步移动的柱子。

第二个操作要求你解决汉诺塔问题，其中半径为 \(1、2\) 和 \(3\) 的圆盘最初分别堆叠在柱子 \(2、3\) 和 \(1\) 上。

第四个操作要求你解决汉诺塔问题，其中半径为 \(2,3\) 和 \(4\) 的圆盘最初分别堆叠在柱子 \(3、3\) 和 \(3\) 上。

思路

首先汉诺塔问题转化为从最终状态移动到初始状态
于是可以简单 \(\mathcal{O} (n)\) 处理一个询问

如何优化?
考虑单次询问的操作流程, 不难发现单个 \(p_i\) 的影响

明天再来写博客, 今天确实效率不高