[U216322] 石子问题

前言

神秘原题来源, 有点神经的

思路

首先还是期望的基础没有一点, 因此重新学习一下

期望的知识

主要解释离散型随机变量, 在 $\rm{OI}$ 中应用更广泛

首先是定义
对于一组离散型随机变量, 出现其中某一变量的概率乘以这一变量值, 再求和, 就是数学期望
$$E = \sum_{i = 1}^{n} p_i v_i$$

一些性质
$$\begin{align} & E(X + Y) = E(X) + E(Y)\\ & E(XY) = E(X)E(Y)\\ & E(aX + b) = aE(X) + b\\ & E(c) = c \\ & E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align}$$

题意

$n$ 个单元, 第 $i$ 个单元的权重为 $w_i$
每秒在余下的单元中, 以 $\displaystyle \frac{w_i}{\sum w}$ 的概率选择第 $i$ 个单元删除$($即 $w_i \gets 0$$)$

求第 $1$ 个单元被删除时间的期望

如果按照期望定义去做, 那么需要求出在 \(t\) 时间删除 \(1\) 单元的概率, 并不好做

\[\begin{align*} E(T) = \sum_{t = 1}^{n} t P(T = t) \end{align*}\]

考虑一些转化
期望的线性性告诉我们, 对于多个随机事件的和, 其期望等于各个事件的期望之和

那么 \(T\) 这个事件是哪些随机事件的和呢?
不妨令 \(X_i\) 表示第 \(i\) 个单元是否在 \(1\) 单元之前被删除, 不难发现 \(\textrm{range}(X_i) = \{0, 1\}\)
那么 \(\displaystyle T = \left(\sum_{i = 2}^{n} X_i\right) + 1\)

这下期望的线性性告诉我们的东西可以用来做题了

\[\begin{align*} E(T) &= \left(\sum_{i = 2}^{n} E(X_i)\right) + 1 \\ \end{align*}\]

那很有生活了, 不难发现

\[\begin{align*} E(X_i) &= 0 \times P(X_i = 0) + 1 \times P(X_i = 1) \\ &= P(X_i = 1) \end{align*}\]

也就是说求第 \(i\) 个单元在 \(1\) 之前被删除的概率
感性理解, 第 \(i\) 个单元在 \(1\) 之前被删除和第 \(1\) 个单元在 \(i\) 之前被删除, 一定有一个分界点, 其中

• 第 \(i\) 个单元在 \(1\) 之前被删除
  那么在分界点上选择了 \(i\)
• 第 \(1\) 个单元在 \(i\) 之前被删除
  那么在分界点上选择了 \(1\)
  我们不妨假设分界点之前概率相同, 只在这发生变化, 因此 \(\displaystyle P(X_i = 1) = \frac{a_i}{a_1 + a_i}\)

总结

期望类问题, 考虑当前事件是哪些事件之和, 然后用线性性质处理