01.03 CW 模拟赛 T1. math

前言

赛场上 \(\rm{while}\) 打成 \(\rm{if}\) 痛失 \(40 \rm{pts}\)
不过下来看是贪心的话也没什么好做的了, 一般都不会

对了这是题目
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思路

显然的是你需要把数字从大到小填入, 使得高位的数尽量大, 这个显然
由上面的结论可以知道, 如果你从大到小考虑每一个数, 每个数填给 \(a, b\) 中的一个一定是符合最优解的构造的

---

考虑对于当前的数字, 填给 \(a, b\) 哪个更优
假设当前已经填过的前缀为 \(A, B\) , 显然的如果有一个的大小已经达标那么填给另一个
假设当前的数字为 \(x\) , 分类讨论计算贡献

• \(x\) 放给 \(A\) , \(A \gets 10A + x, AB = 10AB + Bx\)
• \(x\) 放给 \(B\) , \(B \gets 10B + x, AB = 10AB + Ax\)

发现什么?
两个贡献的形式都是 \(10AB + con\) , 而 \(AB\) 是上一次选择产生的贡献, 这证明了在这里使用贪心法使得填数之后当前贡献最大是正确的

对贡献作差, 结果是 \((B - A)x\) , 显然的

• \(B > A\) , 填给 \(a\)
• \(A > B\) , 填给 \(b\)

---

考虑 \(A = B\) 的情况
需要注意的是, 我们当前无论填给谁, 对之后的贡献都是 \(0\) , 所以这是一个全局性的考量

你发现一直填下去, 直到最后 \(A, B\) 有一个达到了 \(a, b\) 的要求, 那么接下来的贡献呢
我们钦定 \(a < b\) , 其他情况同理 (特别的, \(a = b\) 的时候可以随意填)
假设当前剩下的数为 \(x\) , 其位数为 \(b - a\)

记 \(A, B\) 前面位数相同的极大前缀为 \(A^{\prime}, B^{\prime}\)
\(\rm{belike}\) :

的黄色部分

最终的贡献柿子为

\[(B^{\prime} \cdot 10^{b - a} + x) \cdot A^{\prime} = A^{\prime}B^{\prime} \cdot 10^{b - a} + A^{\prime} x \]

我们知道的是, \(x, A^{\prime}B^{\prime}\) 并不由当前选择填给谁而决定, 而 \(A^{\prime}, B^{\prime}\) 是受影响的

所以我们应当令 \(A^{\prime}\) 尽量大, 也就是说, 我们要把这个数填给位数较小的数

实现

首先是学习一下常用的高精度模板, 以后避免不会用

框架

首先 \(A, B\) 的比较和乘法都需要高精度, 让我来看看这两个怎么做
补好是两个高精度相乘, 我们没救了

代码

首先是高精度不想写了, 所以写 \(\rm{python}\)

def main():
    T = int(input())  # 输入 T
    
    MAXVAL = 10
    for _ in range(T):
        a, b = map(int, input().split())  # 输入 a 和 b
        num = list(map(int, input().split()))  # 输入 num 数组
        
        A = 0
        B = 0
        res = 9
        cnta = 0
        cntb = 0
        
        for _ in range(a + b):
            # 找到最大的有效数字
            while num[res-1] == 0 and res > 0:
                res -= 1
                
            # 根据条件选择将数字加入 A 或 B
            if cnta == a:
                B = B * 10 + res
                cntb += 1
            elif cntb == b:
                A = A * 10 + res
                cnta += 1
            elif B > A:
                A = A * 10 + res
                cnta += 1
            elif A > B:
                B = B * 10 + res
                cntb += 1
            else:
                if a < b:
                    A = A * 10 + res
                    cnta += 1
                else:
                    B = B * 10 + res
                    cntb += 1
                
            # 减少当前数字的使用
            num[res-1] -= 1
        
        print(A * B)  # 输出 A * B

if __name__ == "__main__":
    main()

总结

善于通过计算单个单位的贡献来解决一类贪心问题
拍子可以搞出一些 \(\rm{border\ case}\) 去做, 时间充裕还是要打

对贡献作差是一种常见的方法来找到最优解