ABC422G

第一问

即求 \(A x+B y+C z=N\)，且 \(x,y,z\ge0\) 的方案数。

直接 DP 即可。\(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个盒子一共放了 \(j\) 个球，其中 \(1\le i\le 3\)。

时间复杂度 \(O(N)\)。

第二问

相当于求

\[\sum_{A x + B y + C z = N} \frac{N!}{(A x)!(B y)!(C z)!} \]

考虑根号分治：

• 一方面，我们可以枚举 \(x,y\)，然后算出 \(z\) 并计算贡献。时间复杂度为 \(O(\frac{N^2}{AB})\)；
• 另一方面，我们可以先做一个 DP 把前两个盒子分配好：\(f(i,x,y)\) 表示考虑了前 \(i\) 个球且只能往 \(A,B\) 盒子里放球，且两个盒子里的球数 \(\mod A,\mod B\) 分别为 \(x,y\) 的方案数，最后答案即为 \(\sum_{z}\binom{N}{Cz}\times f(N-Cz,0,0)\)。时间复杂度 \(O(N A B)\)。

在 \(A \times B \ge \sqrt{N}\) 时用算法一，\(A \times B \le \sqrt{N}\) 时用算法二即可。时间复杂度 \(O(N^{1.5})\)。

https://atcoder.jp/contests/abc422/submissions/69165517