2022-7-16听课笔记（二）

GYM 102538 G GIANT PENGUIN

题目叙述

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每个点至多在 \(k\) 个简单环里。支持两种操作，给点打上标记或是查询一个点距离最近的带有标记的点。距离就是最短路。
\(k\le 10\) 。

题解

一棵树已经要使用动态点分治了。
图考虑也这样做，但是有个问题是对于两个点 \(u\) 和 \(v\) ，他们的路径不一定非得过分治中心，除去中心以外还有若干条边可以让他们跨过分治中心，但是考虑到分治中心最多属于 \(k\) 个简单换，因此每个树边的端点也作为一个分治中心就可以了。
复杂度 \(\mathcal O(nk\log n)\)

GYM 101821 B LIS VS. LDS

题目叙述

给定长度为 \(n\) 的排列，构造一个LIS和一个LDS满足他俩无交。

题解

考虑如何判断一个LIS存在一个LDS与之不交。
有人说只要把LIS去掉，再DP一遍看LDS是不是最大的即可。但是这样是不利于解决问题的，考虑换一种方式。
统计 \(f_i\) 表示过 \(i\) 的LDS数量，容易发现LDS和LIS最多只有一个交点，于是只要 \(\sum f_i\not= U\) 即可。其中 \(U\) 表示LDS总数。
DP LIS的过程中，尽量维护两个不同的 \(f_i\) 的和。
如果最终有两个和，那么一定有解，否则看一下唯一的和是否和 \(U\) 不一样。

总结

• “无交”这样的问题可以考虑去掉之后看有多少种方案
• 对一边上升一遍下降所以相交比较少的，准确来说要进行大小分析。

UTR #3 去月球

题目叙述

长度为 \(n\) 的序列，有一种操作是删除相邻相同的数删掉。问区间 \([L,R]\) ，进行这种操作最多能够进行多少次。

题解

考虑对于一个区间怎么做，直接从前向后每次扫一遍的同时用一个单调栈，相同就弹出，不相同就继续。
考虑将栈转化为树，具体来说是退栈当成返回父亲，入栈当成向下走。
考虑区间询问，以 \(L-1\) 时刻所在节点为根，那么 \(R\) 所在节点的深度就是最后栈的大小。
有人问如果 \(R\) 走到父亲了怎么办，其实一点问题也没有。这棵树可以当成无根树的。

总结

• 栈可以通过入栈退栈的过程，把入栈当成向下走，退栈当成走父亲，整个过程用一颗树来描述。

[湖南省队集训 2021] 卿且去

题目叙述

定义 \(f(s)\) 表示，将 s 的所有子集中的数的 \(\le n\) 的倍数的选出，求最多选择多少个数满足不存在 \(i|j\) 并且 \(j|i\) 。求 \(s\) 取遍所有质数组成的集合，\(f(s)\) 的和是多少。

题解

考虑一个这样集合的最长反链是多少。最长反链等价于最小可重链覆盖。
然后，考虑最小可重链覆盖怎么做。一定是每次选择最小数 \(x\) ，选择 \(2x,4x,8x\) 这样。
这是因为，如果 \(x\) 不连 \(2x\) ，那么 \(2x\) 一定要另起一条链，因为即便是 \(2x/3\) ，也比 \(x\) 小。
容易发现 \(x\) 到 \(2x-1\) 内的所有数都需要和他们的两倍连成一条链，所以 \(2x\) 和 \(4x\) 也需要连成一条链。所以可以证明，就是若干条 \(x,2x,4x\) 每次乘二的链构成的最小链覆盖。
考虑一个数什么时候会作为链头。只有在他是奇数或者是2的倍数但不是4的倍数并且集合中只有2这一个质因数是他的因数。
然后容易列出算式，min25筛解决就可以了。

总结

• 最长反链转化最小链覆盖，不一定是什么网络流题才这样操作。
• 另外，不要被诈骗了，大胆猜测 \(x,2x,4x,\cdots\)

CF1442E Black, White and Grey Tree

题目叙述

每个点有灰色，白色和黑色三种颜色，每次可以选择一个连通块内部的一些点，把他们都删掉。不能同时选择黑色和白色的点。问是少多少次把点都删光。

题解

考虑最优方案，一定不存在一种操作是把整个树拆成若干个部分。
可以通过提前进行连通块内部的操作来避免这家事情，所以一定不会拆连通块。
因此，最优操作必然是每次剥叶子。如果没有灰色节点，那么答案就是最长的直径，其中长度定义为黑白交错的连续段数量。
有灰色节点考虑设 \(f_{x,0/1},g_{x,0/1}\) 分别表示 x 点被染成黑/白色子树内的最短的直径、x 点被染成黑/白色子树内的最长的链的最小值。转移即可。

总结

• 剥叶子问题考察直径
• 要从怎么好做的方面思考，这样会思考这个题如果没有拆分若干个部分会怎么样。