生成函数听课笔记

好毒瘤啊。先记一题：
求：

\[[x^ny^n](1+x)^k(1+y)^l(1-xy)^{-k-l-1} \]

考虑扩元。从二元生成函数变成四元的。
改成求：

\[[u^kv^kx^ny^n]\sum_{u\ge 0,v\ge 0}(1+x)^ku^k(1+y)^lv^l(1-xy)^{-k-l-1}\\=\frac{1}{1-xy-u(1+x)}\frac{1}{1-xy-v(1+y)}(1-xy) \]

剩下的公式太长，不如放图片。

有一个技巧是，我们应当把算式换成 \(\frac{1}{1-at}\) 这样的形式。
另外，对于 \([t^0]\frac{1}{1-at}\frac{1}{1-bt^{-1}}\) 这样的，其实等于 \(\frac{1}{1-ab}\) 。通过展开成不带分数的算式，可以发现这件事情。