数学自用公式

绝对值三角不等式

\[\large ||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq |a|+|b| \]

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均值不等式

\[\large \dfrac{1}{\dfrac1n (\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\dots \dfrac1{a_n})}\leq \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\leq \dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \]

当且仅当 \(a_1=a_2=\dots =a_n\) 时等号成立
已知 \(a_i> 0\)

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伯努利不等式

\[\large (1+x)^n\ge 1+nx \quad(\forall x>-1 ,n\in \mathbb{N}^*) \]

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对 \(x\ge 0,y\ge 0,n\in \mathbb{N}^*\) ，有

\[\large (x+y)^n \ge x^n+y^n,\qquad (x^n+y^n)^{\frac 1n}\le x+y \]

\[\large (x+y)^{\frac 1n}\le x^{\frac 1n}+y^{\frac 1n},\qquad |x^{\frac 1n}-y^{\frac 1n}|\le |x-y|^{\frac 1n} \]

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因式分解

\[\large a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \]

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闵可夫斯基不等式

\[\large \left(\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\right)^{1/2}\le \left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2 \right)^{1/2}+\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2 \right)^{1/2} \]