题解：P11400 [Code+#8 初赛] 打怪游戏

@yuruilin2026 和@Hootime 两个大佬认为这是道水题，一眼秒了，于是让我这个蒟蒻来做。
然后我直接输出 FALL，成功获得了 29 pts。

不可以，总司令。

让我们回到正题，我使用的是动态规划实现，时间复杂度为 \(O(3^q\times 2^n\times n\times k)\)，这个时间复杂度看似很高，实际一点也不少，但是我们可以通过剪枝实现。

表示

• s：表示当前的状态，使用状态压缩来表示已经访问过的城市和道具的使用情况。
• f[s]：状态 s 下使用的最少武器数量。
• g[s]：状态 s 下最后一把武器的剩余耐久。

转移

然后就开始推动态转移方程式，我们需要分两种情况：

1. 使用这个道具；
2. 不使用这个道具。

状态转移的核心思想是：从当前状态 s 出发，访问一个新的城市 i，并更新状态 s 和对应的 f[s] 和 g[s]。

1. 状态转移

假设当前状态为 s，尝试访问一个新的城市 i：

• 如果当前武器的剩余耐久 g[s] 加上怪物 i 的血量 a[i] 不超过当前武器的耐久 b[f[s]]，则可以直接使用当前武器击败怪物 i，并更新状态 s 和 f[s]、g[s]。

  转移方程：

  \[f[s \cup \{i\}] = f[s] \]
  \[g[s \cup \{i\}] = g[s] + a[i] \]

• 如果当前武器的剩余耐久 g[s] 加上怪物 i 的血量 a[i] 超过当前武器的耐久 b[f[s]]，则需要丢弃当前武器并尝试使用下一把武器。

  转移方程：

  \[f[s \cup \{i\}] = f[s] + 1 \]
  \[g[s \cup \{i\}] = a[i] \]

2. 使用道具的状态转移

如果城市 i 有道具 d[i]，则可以使用道具来减少怪物 i 的血量。假设当前状态为 s，尝试访问一个新的城市 i 并使用道具 d[i]：

• 如果当前武器的剩余耐久 g[s] 加上减少后的怪物血量 max(a[i] - d[i], 0) 不超过当前武器的耐久 b[f[s]]，则可以直接使用当前武器击败怪物 i，并更新状态 s 和 f[s]、g[s]。

  转移方程：

  \[f[s \cup \{i\}] = f[s] \]
  \[g[s \cup \{i\}] = g[s] + \max(a[i] - d[i], 0) \]

• 如果当前武器的剩余耐久 g[s] 加上减少后的怪物血量 max(a[i] - d[i], 0) 超过当前武器的耐久 b[f[s]]，则需要丢弃当前武器并尝试使用下一把武器。

  转移方程：

  \[f[s \cup \{i\}] = f[s] + 1 \]
  \[g[s \cup \{i\}] = \max(a[i] - d[i], 0) \]

总结

1. 不使用道具：

   \[f[s \cup \{i\}] = \begin{cases} f[s] & g[s] + a[i] \leq b[f[s]] \\ f[s] + 1 & \text{其它} \end{cases}\]
   \[g[s \cup \{i\}] = \begin{cases} g[s] + a[i] & g[s] + a[i] \leq b[f[s]] \\ a[i] & \text{其它} \end{cases} \]

2. 使用道具：

   \[f[s \cup \{i\}] = \begin{cases} f[s] & g[s] + \max(a[i] - d[i], 0) \leq b[f[s]] \\ f[s] + 1 & \text{其它} \end{cases} \]
   \[g[s \cup \{i\}] = \begin{cases} g[s] + \max(a[i] - d[i], 0) & g[s] + \max(a[i] - d[i], 0) \leq b[f[s]] \\ \max(a[i] - d[i], 0) & \text{其它} \end{cases} \]

答案

我们需要找到所有城市都被访问过的状态，即 s = (1 << n) - 1，并检查 f[s] 是否小于 k。如果 f[s] < k，则输出 f[s] + 1 和 b[f[s]] - g[s]；否则输出 FAIL。