麻省理工-高等线性代数笔记7. Ax=0：主变量、特解

7. \(Ax=0\)：主变量、特解

Review

上一节讲了向量空间，特别是矩阵的零空间和列空间，这些空间包含什么。

这一节将详细讲解如何找出这些空间中的向量，如何计算出这些向量——这节课是一个转折，从定义转向算法。

求解\(Ax=0\)的算法是怎样的？

今天主要讲零空间，下面还是举例来演示这种算法。

这里取一个3 x 4 的矩阵\(A\)，观察该矩阵发现列一与列二相关，行三与行一和行二相关。这种关系会体现在消元里面。

这种算法就是消元，消元的对象是长方阵，因此哪怕主元位置是0，我们仍得继续。

求解\(Ax=0\)

消元

首先要知道在消元的过程中，解是不会改变的，因此零空间也不会改变。实际上，这里改变的是列空间。即，随消元不变的是方程组的解

因为右侧常数向量始终为0，所以消元只用处理方程组左侧就行。

那么怎么消元？

步骤如下：

消元第一步中，第一行的1是主元一，第二行的2是主元二。继续消元。

消元第二步后，得到了\(U\)这种阶梯形式，可以看出只有两个主元。

即\(A\)的秩表示主元的个数，在该例中\(A\)的秩为2。

怎么求解\(Ax=0\)？

第一步：找出主列——主元所在的列，而主元不在的列就叫做"自由列"。

自由列表示，可以自由或任意分配数值给未知数，此例中就是\(x_2\)和\(x_4\)可以任取，这样就只需求解\(x_1\)和\(x_3\)即可。

即，给可自由分配的属于自由列的\(x_2\)和\(x_4\)分配数值，如分配给\(x_2=1\)和\(x_4=0\)(1和0称作自由变量)。

现在要求\(Ux=0\)，通过回代，可以得到\(x_1=-2\)和\(x_3=0\)。

这样就得到零空间的一个向量，\(x_1=[-2,1,0,0]^T\)(这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它仍不是整个零空间)

同理，还可以分配给\(x_2=0\),\(x_4=1\),通过回代又得到零空间的一个直线向量\(x_2=[2,0,-2,1]^T\)

总结：怎样得到该例子中更多的零空间的向量？

先求出方程组的两个零空间向量\(x_1\)和\(x_2\)(这两个向量称为特解），然后就可以得到整个零空间的向量(即\(Ax=0\)所有的解)，该方程组更多的零空间向量\(x\)可以表示为\(x_1\)和\(x_2\)的线性组合——\(x=k_1x_1+k_2x_2\)(\(k_1\)和\(k_2\)为任意常数)

特解

特解，就是特定的解，根据向量的自由列分配给对应未知数数值(分配自由变量，一般是0和1），再通过回代得到其他未知数的解，最终整合起来得到特解。

通过特解就能够构造出整个零空间(通过特解的线性组合来表示\(Ax=0\)或者说是\(Ux=0\)的所有解)

总结，即零空间所包含的正好是特解的线性组合

那么特解有几个？

每个自由变量对应一个特解。

那么自由变量有几个？

每个自由列对应一个自由变量。

那么自由列有几个？

可以知道矩阵的秩表示主变量的个数，即表示主列的个数，那么矩阵所有的元素减去主列的个数就是自由列的个数。那么对于\(m\)x\(n\)矩阵，\(n\)变量，用\(r(A)\)表示秩，那么自由变量个数，即特解个数为\(n-r(A)\)。

\(r\)个主变量，表示只有\(r\)个方程真正起作用，剩下\(n-r\)个变量都可以自由选取，令其为0、1这样的特定值来得到特解。

对于本例来说就是4-2=2个特解。

当然,我们可以对最后的阶梯形式\(U\)进一步简化

记\(R\)为简化阶梯形式。在简化行阶梯形式中，主元上下全是0。

在Matlab中用命令rref(reduced row echelon form简化行阶梯形式)瞬间就能完成这些动作。

在简化行阶梯形式中，能够快速地看出主行和自由行，快速地通过\(Rx=0\)得到特解。

考虑典型的简化行阶梯形式

可以表示为主元列单位矩阵\(I\)在前，自由列\(F\)在后：

想要解\(Rx=0\)，其解为零空间矩阵\(N\)(\(N\)矩阵的各列由特解组成),\(N\)使得\(RN=0\)(即，\(R\)乘以\(N\)的每一列都得到一列0)。

根据\(R\)的形式，由\(RN=0\)可以得到\(N\)的形式为：

即上图中就是以特解为列构成的矩阵，即零空间矩阵

在Matlab中用指令null来生成零基，得到零空间矩阵。

结合上图，下图就是说，当自由变量分配为单位矩阵时，主变量就等于\(-F\)。

总结

回顾一下求解\(Ax=0\)的步骤，首先是消元(消到得到最简阶梯形式，可以是典型简化阶梯形式），然后观察阶梯形式得到关键的主元个数r，剩下n-r个是自由变量即特解个数，自由变量取0和1；然后对特解进行线性组合，线性组合的结果就是\(Ax=0\)的所有解。

特别的，当简化阶梯形式整理为\(R\)的形式，那么x组成的矩阵，即特解组成的矩阵形式就是\(N\)。

如果是问零空间的基，就是得到的特解向量组成的矩阵；如果问整个零空间，就是特解向量线性组合的结果。

新例子，求解\(Ax=0\)