麻省理工-高等线性代数笔记5. 转置、置换、向量空间

5. 转置、置换、向量空间

• 置换

置换矩阵，记作\(P\)，是用来完成行互换的矩阵。

在规定没有行互换的时候，\(A=LU\)的表示形式通常如下：

而现在考虑行互换的情况：

按照Matlab的处理方式，它不仅会像人一样，检验主元位置是否为0，它甚至不允许存在非常接近于0的数字作为主元。因此在Matlab的实际运算中，它会对一些我们认为没必要的行进行行互换。

我们只需要对代数认为有必要的行进行互换

行互换不可避免会出现，那么如何处理？

处理方式就是将\(A=LU\)变为\(PA=LU\)，该描述概况了包含行互换的消元。\(P\)就是置换矩阵，它把各行互换为正确的顺序，互换后主元位置将不再会出现0的情况，使得结果可以得到上图中\(L\)和\(U\)的这种形式。

总结：置换矩阵，是行重新排列了的单位矩阵。

可能的置换矩阵：单位矩阵（这是最基本的置换矩阵）交换两行、三行、四行......的单位矩阵。对于n阶矩阵来说，有\(n！\)种置换矩阵。

置换矩阵性质（转置等于逆）：

1. 可逆的性质，因为各行还原后可以得到单位阵
2. 其逆矩阵与其转置相等的性质，即\(P^{-1}=P^{T}\)

结合性质一和二，置换矩阵满足置换矩阵的转置乘以本身等于单位阵，即\(PP^{T}=I\)

• 对称矩阵（转置等于本身）

若矩阵\(A\)的转置等于\(A\)，那么\(A\)可以称为对称矩阵。

如何构造一个对称矩阵？

对角线上元素随便取，但是其他行和列中元素必须对应

• 转置

转置矩阵满足行元素和列元素互换。

转置矩阵具备一个性质：\((R^{T}R)^{T}=R^{T}R\)，即\(R^{T}R\)为一个对称矩阵。

• 向量空间

什么是向量空间？

向量空间表示有很多向量，一整个空间的向量，但并不是任意向量的组合都能称为空间，空间必须满足一定的规则，必须能够进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合。

举例：

\(R^2\)空间，这是一个由所有二维向量组成的平面向量空间，有点类似于xy空间，\(R^2\)空间的横坐标表示向量的第一个元素，纵坐标表示向量的第二个元素。

注：所有向量空间都必须包含原点

\(R^3\)空间，是所有三维向量组成的向量空间。

......

\(R^n\)空间，是所有n维向量组成的向量空间。

这些向量空间的性质：

1. 向量相加减仍在向量空间内（向量相加减封闭)
2. 数乘某向量仍在向量空间内(数乘封闭）
3. 向量的线性组合仍在向量空间内（线性组合封闭）

• 子空间

什么是子空间？

举例，在\(R^2\)空间中任一经过原点的直线都可以是\(R^2\)的子空间，因为这些直线满足在这些直线上向量的加减、数乘和线性组合。

\(R^2\)空间的子空间都有哪些？

1. \(R^2\)空间本身
2. 经过原点、两端无限延伸的直线(但这个子空间跟\(R^1\)空间不一样，因为这个子空间的向量是二维的，而\(R^1\)空间是一维的)
3. 0向量本身(因为0向量满足所有法则)，它总是构成最小的子空间

同理，\(R^3\)空间的子空间都有哪些？

1. \(R^3\)空间本身
2. 经过原点、两端无限延伸的平面
3. 经过原点、两端无限延伸的直线
4. 0向量本身

回到实际情况上来，如何从矩阵中构造出一个子空间？

方法一：列向量构造

举例：所有\(A\)的列向量的线性组合（数乘、加法）构成一个子空间，这个空间叫做列空间，记作\(C(A)\)

通过\(A\)构成一个向量空间，如果\(A\)中的向量属于\(R^3\)，那么它们构成的空间也在\(R^3\)里面，关键就是对其进行线性组合后仍然在子空间中。

举例：考虑向量(1，2，4)和向量(3,3,1)，那么这两个向量的线性组合（得到的列空间）将得到过这两个向量和原点的一整个平面。当然如果假设两个向量恰好共线，那么得到的线性组合（得到的列空间）就会是过原点的一条直线。