麻省理工-高等线性代数笔记4. A的LU分解

4. A的LU分解

这节课的目标是以这种总的思路审视高斯消元。

假设\(A\)可逆，\(B\)可逆，那么可知\(AB\)的逆矩阵是\(B^{-1}A^{-1}\)

\(AB(B^{-1}A^{-1})=I\)，或者\((B^{-1}A^{-1})AB=I\)

• 矩阵转置

可知\(A\)的逆为\((A^{-1})^T\),即A的逆的转置就是A的转置的逆。

• 继续讨论矩阵消元，A=LU-不存在行交换的情况

首先要知道\(A=LU\)是最基本的矩阵分解。

A经过一系列变换，得到U，那么A和U是什么关系？

这就有了矩阵L，它联系着A和U。

2 x 2举例，已知初等矩阵\(E_{21}\)与矩阵\(A\)相乘得到对角矩阵\(U\)（找到主元）：

那么可以得到，矩阵\(L=（E_{21}）^{-1}\)满足下式：

3 x 3举例

那么

\(L\)可知就是对角线为1，上三角为0，下三角为消元乘数（即，每一次相消所乘的倍数）。

思考一下，假设矩阵中没有0，对于左侧一个n x n矩阵\(A\)需要多少次消元操作？对于右侧向量\(b\)需要多少次消元操作？

一般一次消元操作就是一次乘法+一次减法，那么对于左侧矩阵\(A\)大致需要\(\sum_{i=n}^{1}(i)^2\approx\frac{1}{3}n^3\)次消元操作(先从第一行考虑，再考虑第二行，依次考虑，每一行考虑时看消元操作，就看有多少个元素变化)；对于右侧向量\(b\)大致需要\(n^2\)次消元操作。

• 讨论A=LU-存在行交换的情况-转置与置换

存在行交换的情况，就是主元位置存在0时。

而转置矩阵在上面已经提到，而置换矩阵就是需要行互换时用到的矩阵

3 x 3置换矩阵不多，可以全部找到，有6中置换矩阵\(P\)如下：

而这个矩阵群也很有意思，任一矩阵取其逆矩阵也在这个矩阵群，而且不论相互怎么相乘，结果也仍在它们当中。

可以发现，置换矩阵有个很奇妙的性质：\(P^{-1}=P^{T}\)，即其逆等于其转置