麻省理工-高等线性代数笔记2. 矩阵消元

2. 矩阵消元

只要矩阵是个好矩阵，消元法就能够奏效，这是解方程组的有效方法。

换句话说，用消元法可以知道什么矩阵是好矩阵，何时是好矩阵，何时有问题

这节课主要就是讲，用矩阵语言描述消元法，核心概念就是“矩阵变换”

这节课的例子，仍可看作\(Ax=b\)

• 矩阵消元

消元法的第一步

方程一乘以(-3)减去方程二，目的是为了消去x

这时考虑右侧向量是否应该也进行运算，在Matlab中，一般是先算左侧矩阵，再计算右侧向量。

在这里权当按照Matlab的方式计算，先只为右侧向量b留个位置,之后再加进去。

消元法的第二步

此时第二行，第一列为0，那么找第三行，第一列为0。此时矩阵\(A\)中已经满足第三行，第一列为0。

那么此时x（主元一）已经消去，只剩下y和z。 按照Matlab，就是进行迭代的计算。

把y看作主元二，重复计算来消元。

z自然就是主元三。

注意：主元不能为0，但如果0占据了主元的位置，那么用行交换试一下，找到合适的主元

此时快速的计算方式就是用到行列式等于主元之积，所以可以直接从矩阵\(U\)中看出，行列式的积为10。

• 回代

  此时要把右侧向量加进来考虑了，此时得到的矩阵就叫增广矩阵

  

  此时， 方程一乘以(-3)减去方程二，右侧向量也进行同样的运算。

  整个对增广矩阵进行消元的过程如下：

  

  \(c\)对\(b\)，同\(U\)对\(A\)一样。

  把矩阵消元最后的结果写成方程组，矩阵\(U\)和\(c\)的含义，\(Ux=c\)即：

  

  此时，可依次解出\(z=-2,y=1,x=2\)。

  以上就是回代，它是反向求解方程的简单步骤。

• 讨论消元法失效的情况

失效，指的是不能得到三个主元，

当有最后主元只能是0，不能再用行交换的方法找到合适主元的时候，此时消元法失效。

体现在例子中，就是第三个式子变为\(4y-4z=2\)

行交换可以解决主元为0的，为“暂时性失效”，但当底下的行中再也没有非0元素时，消元就彻底失效了

• 引入消元矩阵的概念

虽然以上一直在用矩阵，但之前的矩阵变换，即这些消元步骤都没有用矩阵表示，以下要引入消元矩阵的概念。

之前提到矩阵乘以向量的结果，是矩阵列的线性组合

下图是列计算

下图是行计算(对行进行组合)

回到例子的消元矩阵。

第一步：利用好单位矩阵的行变换，可以得到：

左侧的消元矩阵，记作\(E_{21}\),称为初等矩阵（倍加类型），21是因为它使得第二行第一列经过计算为0，即修正的是第二行第一列的位置。

第二步：利用好单位矩阵的行变换

同第一步，左乘\(E_{32}\)，过程如下：

矩阵消元到这里结束，每一步用到一个初等矩阵。

总结这节课矩阵消元的所有步骤：

• 置换矩阵

  行交换：矩阵左乘*置换矩阵P

  

  列交换：矩阵右乘置换矩阵P

  

  再次强调，在矩阵乘法中不能交换顺序，必须保证矩阵乘法的顺序不变，即\(AB \neq BA\),“交换律”不成立

• 继续考虑矩 阵乘法

考虑什么矩阵能够一次性从矩阵A得到矩阵U？

答：方法一：用“结合律”，矩阵\(E_{32}E_{21}\)，因为\(E_{32}(E_{21}A)=U\)可以看作\(（E_{32}E_{21}）A=U\)

记住，增减括号是矩阵乘法的一项性质，对任意矩阵乘法均使用，也就是“结合律”

方法二：用“逆变换”

• 逆矩阵

假设原矩阵为\(E\)，单位矩阵为\(I\)，那么逆矩阵记作\(E^{-1}\)，即\(E^{-1}E=I\)